Variável aleatória multidimensional
Variável Aleatória Multidimensional
Uma variável aleatória multidimensional (ou vetorial) é uma função que associa cada elemento do espaço amostral a um vetor de valores reais. Ela generaliza o conceito de variável aleatória unidimensional para múltiplas dimensões, sendo comum em problemas que envolvem a análise conjunta de duas ou mais variáveis.
Tipos de Variáveis Multidimensionais
1. Variáveis Discretas: Quando cada componente do vetor é uma variável aleatória discreta. Exemplo: (X, Y) representando o número de filhos e carros por família.
2. Variáveis Contínuas: Quando cada componente é uma variável aleatória contínua. Exemplo: (X, Y) representando altura e peso de indivíduos.
Função de Probabilidade Conjunta (Discreta)
Para variáveis discretas, a função de probabilidade conjunta é definida como:
P(X = x, Y = y) = p(x, y)
onde p(x, y) ≥ 0 e a soma sobre todos os possíveis valores de x e y é igual a 1.
Função Densidade Conjunta (Contínua)
Para variáveis contínuas, a função densidade conjunta f(x, y) satisfaz:
f(x, y) ≥ 0 e a integral dupla sobre todo o domínio é igual a 1.
Distribuições Marginais
Obtidas somando (caso discreto) ou integrando (caso contínuo) a distribuição conjunta sobre os valores da outra variável:
P(X = x) = ∑ P(X = x, Y = y) (discreta)
fX(x) = ∫ f(x, y) dy (contínua)
Independência entre Variáveis
X e Y são independentes se e somente se:
P(X = x, Y = y) = P(X = x) * P(Y = y) (discreta)
f(x, y) = fX(x) * fY(y) (contínua)
Covariância e Correlação
Covariância: Mede a relação linear entre duas variáveis:
Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]
Correlação: Padroniza a covariância para o intervalo [-1, 1]:
ρ = Cov(X, Y) / (σX * σY)
Aplicações em Concursos
É comum encontrar questões sobre:
- Cálculo de probabilidades conjuntas/marginais
- Verificação de independência
- Interpretação de covariância e correlação
- Distribuições condicionais