Resumo de Estatística - Momentos e Função geratriz de momentos de uma variável aleatória

Momentos e Função geratriz de momentos de uma variável aleatória

Momentos de uma Variável Aleatória

Os momentos de uma variável aleatória são medidas que caracterizam sua distribuição de probabilidade. O momento de ordem k em relação à origem (μ_k) é definido como:

Para variáveis discretas: μ_k = E[X^k] = Σ x_i^k · P(X = x_i)

Para variáveis contínuas: μ_k = E[X^k] = ∫ x^k · f(x) dx

O momento central de ordem k (μ'_k) é calculado em relação à média (μ):

μ'_k = E[(X - μ)^k]

Aplicações:

• μ₁ = Média (valor esperado)
• μ'₂ = Variância (medida de dispersão)
• μ'₃ = Assimetria
• μ'₄ = Curtose

Função Geratriz de Momentos (MGF)

A função geratriz de momentos (MGF) é uma ferramenta que gera todos os momentos de uma variável aleatória. Definida como:

M_X(t) = E[e^tX]

Propriedades principais:

• Se X e Y são independentes, M_X+Y(t) = M_X(t) · M_Y(t)
• O k-ésimo momento é obtido derivando k vezes M_X(t) em t=0: μ_k = M_X^(k)(0)
• Unicidade: Se duas variáveis têm MGFs iguais em um intervalo, suas distribuições são idênticas.

Dicas para Concursos

• Memorize a MGF de distribuições comuns (Binomial, Poisson, Normal, Exponencial).
• Relacione momentos com medidas estatísticas (média, variância).
• Pratique cálculo de momentos usando derivadas da MGF.
• Atenção a questões que envolvam soma de variáveis aleatórias independentes.