Estimativa de Máxima Verossimilhança
Estimativa de Máxima Verossimilhança (EMV)
A Estimativa de Máxima Verossimilhança (EMV) é um método estatístico para estimar parâmetros de um modelo probabilístico, maximizando a função de verossimilhança. É amplamente utilizado em concursos por sua eficiência e propriedades assintóticas.
Conceitos-Chave
- Função de Verossimilhança (L(θ)): Mede a probabilidade dos dados observados em função do parâmetro θ.
- Estimador de Máxima Verossimilhança (θ̂): Valor de θ que maximiza L(θ).
- Log-Verossimilhança: Muitas vezes, usa-se ln(L(θ)) para simplificar cálculos, pois o máximo é o mesmo.
Passos para Obter o EMV
- Escrever a função de verossimilhança L(θ) com base na distribuição dos dados.
- Calcular a log-verossimilhança (ln(L(θ))).
- Derivar em relação a θ e igualar a zero para encontrar o ponto crítico.
- Verificar se o ponto crítico é um máximo (usando a segunda derivada, se necessário).
Propriedades Importantes
- Consistência: θ̂ converge para o valor verdadeiro θ quando o tamanho da amostra aumenta.
- Eficiência Assintótica: Para grandes amostras, θ̂ tem variância mínima.
- Invariância: Se θ̂ é EMV de θ, então g(θ̂) é EMV de g(θ).
Aplicações em Concursos
Questões frequentemente abordam:
- Cálculo do EMV para distribuições comuns (Normal, Poisson, Bernoulli).
- Interpretação da função de verossimilhança.
- Propriedades assintóticas do estimador.
Exemplo Prático
Para uma amostra X₁, X₂, ..., Xₙ de uma distribuição de Bernoulli(p), a EMV de p é a proporção de sucessos na amostra:
p̂ = (ΣXᵢ)/n.