Os sistemas lineares são conjuntos de equações lineares que possuem várias incógnitas. Ao encontrar o resultado de uma dessas equações, será obtido o resultado de todas as outras. Existem vários métodos de resolução desse tipo de sistema, mas o sistema de escalonamento é o mais utilizado deles.
Conheça abaixo os conceitos que envolvem os sistemas lineares e como os resolver pelo método do escalonamento.
Equações lineares
Essa é uma equação que tem variáveis com expoente igual a um e que não podem ser multiplicadas ou divididas. Dessa forma, ax + by = 0 é uma equação linear, pois as variáveis x e y têm expoente igual a um x¹ e y¹ e não estão realizando multiplicação nem divisão entre si.
Exemplo de equações lineares:
• 5x = 20: é uma equação linear, pois a variável x tem expoente igual a 1 (x¹);
• 32x – 2y = 0: é uma equação linear, pois as variáveis x e y têm expoentes iguais a um (x¹) e (y¹);
• x² + 3y³ = 12: não é uma equação linear, pois os expoentes da variáveis não são iguais a um (x²) e (y³);
• 2xy – 3z = 6: não é uma equação linear, pois as variáveis x e y estão realizando multiplicação entre si.
Sistemas lineares
Os sistemas lineares, por sua vez, são conjuntos de equações lineares que possuem as mesmas varáveis e têm soluções iguais. Para encontrar a solução dos sistemas lineares, basta encontrar o valor das variáveis em apenas uma das equações. Observe:
2x – y = 3
-x + y = -1
As equações anteriores formam um sistema linear, pois (2, 1) é o resultado comum entre eles.
Os sistemas lineares também podem ser definidos como um conjunto formado por m equações com “n” incógnitas. Podem ser representados da seguinte forma:
a1x1 + a2x2 + a3x3 … + anxn = b1
a21x1 + a21x2 + a23x3 … + a2nxn = b2
(…)
an1x1 + an2x2 + an3x3 … + annxn = bn
Observe que x1, x2, x3 e xn são as incógnitas.
Escalonamento
Um sistema escalonado é quando as incógnitas das equações lineares têm, pelo menos, um coeficiente não nulo e o número de coeficientes nulos aumenta de forma gradativa (de equação para equação).
O escalonamento de sistema transforma uma equação em outra equivalente, mas que possui uma solução mais fácil. Para isso é possível seguir os passos:
• Fixar a primeira equação sem modificá-la;
• Recriar a segunda equação. Para isso, basta multiplicar ou dividir duas das equações por um número que permita a exclusão de uma das incógnitas e depois somar as equações;
• Repetir o processo anterior na terceira ou quarta linha até encontrar formas equivalentes reduzidas.
Exemplo. Temos o sistema linear:
x + y + z = 6
x + 2y + 2z = 9
2x + y + 3z = 11
Não mexemos na primeira, mas reduzir a segunda. Assim:
x + 2y + 2z = 9 . (-1)
-x -2y -2z = -9
(x + y + z = 6 ) + (-x -2y -2z = -9)
-y -z = -3
Redução da Terceira equação:
x + 2y + 2z = 9 . (-2)
-2x -4y -4z = -18
(2x + y + 3z = 11) + (-2x -4y -4z = -18)
-3y -z = -7
O resultado do escalonamento será então:
x + y + z = 6
-3y -z = -7
-y -z = -3
Ainda se pode reduzir mais as equações e então terá:
-y -z = -3 .(-3)
3y +3z = 9
(-3y -z = -7) + (3y +3z = 9)
2z = 2
Então:
x + y + z = 6
-3y -z = -7
2z = 2
Assim, pode-se encontrar mais facilmente o resultado dos sistemas lineares.
Equação 01:
2z = 2
z=2/2
z=1
Equação 02:
-3y -z = -7
-3y -1 = -7
-3y = -7 +1
-3y = -6 . (-1)
3y = 6
y = 6/3
y = 2
Equação 03:
x + y + z = 6
x +2 +1 = 6
x +3 = 6
x = 6 -3
x = 3
O sistema linear, então, terá como solução os valores x = 3, y = 2, z = 1.
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