Resumo de Matemática - Seno

O Seno é uma razão trigonométrica. Mas, o que é uma razão ou relação trigonométrica? É o estudo sobre os ângulos de um triângulo retângulo.

Dessa forma, antes de compreender o Seno, sua definição e funções é fundamental relembrar o que é um triângulo retângulo e seus principais elementos.

Triângulo retângulo

O triângulo é um polígono que possui três lados e quando um dos seus ângulos é igual a 90º é denominado retângulo. Observe a imagem abaixo:

 

Essa figura geométrica é muito utilizada na matemática, principalmente no cálculo algébrico de áreas e volumes.

Seus principais elementos são:

  • Catetos: são os dois lados menores do triângulo retângulo (oposto e adjacente) e formam o ângulo de 90º.
  • Hipotenusa: é o maior lado de um triângulo retângulo, oposto ao ângulo reto.
  • Altura relativa à hipotenusa: é a extensão entre a hipotenusa e o vértice oposto.
  • Projeção dos catetos: é a divisão em duas partes da altura relativa à hipotenusa.

Catetos e hipotenusa

Considere a figura ao lado: BC é o cateto oposto e AC o cateto adjacente. É possível concluir que o cateto oposto fica em frente a um determinado ângulo e o cateto adjacente fica ao lado de determinado ângulo, porém não é a hipotenusa.

Já a hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo, sempre oposto ao ângulo reto.

Relações trigonométricas do triângulo retângulo

A trigonometria pode ser utilizada para calcular os lados de um triângulo retângulo através da medida de um ângulo e um lado.

As principais razões trigonométricas são justamente o seno (que será explicado mais a frente), além do cosseno e tangente.

O cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo.

A tangente é a razão entre o seno e o cosseno de um ângulo, ou ainda entre os catetos.

Definição do seno de um ângulo

É chamado seno de um ângulo a razão entre o cateto oposto ao referido ângulo e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Sendo assim, a razão é o resultado da divisão da medida do cateto oposto pela medida da hipotenusa e essa relação depende do ângulo considerado, conforme imagem:

Seno dos ângulos notáveis

São chamados ângulos notáveis aqueles calculados com mais frequência (30º, 45º e 60º).

O valor do seno de 30º é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, enquanto o valor de 60º é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:

Para identificarmos o valor do seno de um ângulo de 45º, teremos como base um quadrado de lado X, conforme mostrado abaixo:

O cálculo será feito da seguinte forma:

Para facilitar os cálculos, a tabela abaixo pode servir como base:

Função seno

A função seno pode ser definida como: f(x)=sen(x).

Tendo como base o Círculo Trigonométrico abaixo, também chamado de Ciclo ou Circunferência Trigonométrica, é possível perceber que a função seno é o intervalo [-1,1], pois os valores que o seno pode assumir para qualquer valor x podem variar apenas de -1 e 1, ou seja -1 ≤ sen(x) ≤ 1, para todo x real.

O seno de um ângulo será sempre positivo no 1º e 2º quadrantes e negativo no 3º e 4º, sempre sob o eixo das ordenadas (y).

Gráfico da função seno

Com as informações apresentadas acima é possível construir uma tabela e, a partir dela, o gráfico da função seno.

Seno no Enem

O seno e as demais razões trigonométricas (cosseno e tangente) caem com frequência nas provas de vestibular e no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem).

Para se dar bem nas questões sobre esse assunto, é fundamental revisar todos os conceitos, fórmulas e aplicações, além do Teorema de Pitágoras, que tem relação com o comprimento dos lados do triângulo retângulo. Sua regra é “a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa”.

Uma dica é treinar com exercícios de provas anteriores, buscando destacar em cada questão o nome de cada lado (se é oposto ou adjacente) em relação aos ângulos da figura.

Outro fator sobre esse assunto que pode aparecer nos enunciados são as semelhanças entre triângulos. Para isso é fundamental lembrar que dois triângulos são semelhantes quando seus ângulos são congruentes e seus lados proporcionais.

Curiosidades sobre a trigonometria

A trigonometria surgiu pela necessidade do homem de calcular distâncias pouco acessíveis. Sua origem é incerta, porém pode-se dizer que ela a existe desde a antiguidade, quando era utilizada para medir ângulos e distâncias.

O principal objetivo dos estudiosos da época era localizar pontos sobre a Terra e, assim, conseguir resolver problemas relacionados à necessidades humanas, principalmente nas áreas da Astronomia, Agrimensura e Navegações por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios.

Os gregos foram os responsáveis por realizar um estudo sistemático das relações entre ângulos ou arcos, numa circunferência e os comprimentos de suas cordas.

Por volta de 180 a 125 a.C., o astrônomo Hiparco de Nicéia foi considerado “o pai da Trigonometria”, resultado do seu tratado em 12 livros elaborado na segunda metade do século II a.C., quando se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, com muitas contribuições para a área.

Sabe-se, portanto, que a principal ferramenta para o desenvolvimento desse campo é o triângulo e suas relações entre os ângulos e as medidas dos seus lados. Você pode estar se perguntando: de que forma essa área da matemática pode ser utilizada no cotidiano?

Atualmente, ela é utilizada em diversas situações do dia a dia, não apenas relacionados diretamente à matemática, mas também na área da tecnologia, por exemplo, em questões que envolvam eletricidade, termodinâmica, óptica, entre outros.

Como foi abordado nesse texto, por meio da trigonometria é possível calcular as medidas de um triângulo, seus lados e ângulos, mas é possível também medir distâncias extremamente longas, como a altura de uma pirâmide, o raio do planeta ou a distância entre duas ilhas.

Pode-se também calcular a altura de um avião ou a distância percorrida por ele utilizando o seno, cosseno e tangente de um ângulo do triângulo formado pela altura do avião, seu deslocamento horizontal e pela hipotenusa.

Outro exemplo da sua aplicação é na astronomia: o tamanho da sombra dos eclipses e seu raio; a distância entre planetas inferiores e superiores; distância da Terra ao Sol, entre outros.

Esses são apenas alguns exemplos da aplicação da trigonometria no dia a dia.

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