Relação Fundamental (sen²x+cos²x=1)
Relação Fundamental da Trigonometria: sen²x + cos²x = 1
A Relação Fundamental da Trigonometria é uma identidade matemática que relaciona o seno e o cosseno de um mesmo ângulo. Sua fórmula é:
sen²x + cos²x = 1
Origem e Demonstração
A relação surge do Teorema de Pitágoras aplicado ao círculo trigonométrico (raio = 1). Em um triângulo retângulo formado no círculo:
- Cateto adjacente ao ângulo x: cos x
- Cateto oposto: sen x
- Hipotenusa: 1 (raio)
Pitágoras: cos²x + sen²x = 1² → sen²x + cos²x = 1.
Aplicações em Concursos
- Simplificação de expressões: Substituir sen²x ou cos²x usando a identidade.
- Resolução de equações: Isolar seno ou cosseno quando uma função é conhecida.
- Provas de identidades: Base para outras fórmulas (ex.: 1 + tan²x = sec²x).
Exemplo Prático
Se senx = 3/5, qual é o valor de cosx?
Solução:
- Substitua na relação: (3/5)² + cos²x = 1 → 9/25 + cos²x = 1
- Isole cos²x: cos²x = 16/25 → cosx = ±4/5
- Defina o sinal pelo quadrante do ângulo (informação adicional necessária).
Dica para Concursos
Memorize variações úteis da relação:
- sen²x = 1 - cos²x
- cos²x = 1 - sen²x