A Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica onde a diferença entre um termo e outro que o antecede é a mesma.
A diferença entre os termos é dada por uma constante “r”, denominada como diferença comum ou razão da progressão aritmética.
Já na progressão geométrica (PG), a série é dada pela divisão de um termo com o seu anterior, exceto o primeiro, resultando na razão constante “q”. Cuidado para não confundir esses dois tipos de progressão.
Para elucidar o que é progressão aritmética, considere a sequência abaixo:
(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16)
Se,
4 – 2 = 2 ou
10 – 8 = 2 ou
16 – 14 = 2
Podemos então dizer que a razão dessa progressão aritmética é 2.
A razão da progressão aritmética também pode ser negativa, conforme exemplo abaixo:
(10, 8, 6, 4, 2, 0, – 2, …)
Se,
-2 – 0 = -2 ou
2 – 4 = -2 ou
8 – 10 = -2
Podemos afirmar que a razão dessa progressão aritmética é -2.
As progressões aritméticas podem apresentar um número limitado de termos (PA finita) ou número ilimitado de termos (PA infinita). Para indicar a continuidade de uma sequência número são utilizadas reticências.
Deste modo, a sequência (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16) é um PA finita e a sequência (10, 8, 6, 4, 2, 0, – 2, …) é uma PA infinita.
Termo geral
O enésimo termo de uma PA, o an, pode ser obtido por meio da fórmula do termo geral, escrita abaixo:
an = a1 + (n-1).r
Onde,
a1: primeiro termo
an: termo que se quer descobrir
n: posição que o termo ocupa
r: razão
Sabendo que o razão da progressão aritmética é constante, tal elemento pode ser encontrado a partir de dois termos consecutivos, ou seja:
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 … an – an-1
Exemplo:
Dada a PA (2, 8, 14, 20, 26, 32, 38) vamos encontrar a sua razão.
r = a2 – a1
r = 8-2
r = 6
Para encontrar o valor do segundo termo utilizamos o cálculo:
a2 = a1 + r
Já para encontrar o terceiro termo utilizamos o mesmo cálculo anterior:
a3 = a2 + r
Se quisermos encontrar termos não explícitos na sequência numérica utilizamos a fórmula do termo geral.
Exemplo:
Dada a PA (26, 31, 36, 41, …) vamos encontrar o seu 10º termo:
an = a1 + (n-1).r
a10 = 26 + (10-1).5
a10 = 26 + 9.5
a10 = 71
Soma dos termos da progressão aritmética
Nesse momento do texto, você já aprendeu os princípios básicos da progressão aritmética e irá conhecer agora a fórmula do somatório dos termos, representada por:
Onde,
Sn: soma dos termos
a1: primeiro termo
an: termo da enésima posição
n: posição que o termo ocupa
Tal fórmula foi descoberta por Carl Friedrich Gauss, quando ele tinha apenas dez anos! Segundo a história, durante uma das aulas o professor estava cansado do barulho que a turma fazia e para acalmar os estudantes deu a seguinte tarefa:
– Somem todos os números de 1 a 100!
Em poucos minutos Gauss chegou ao resultado de 5.050. O professor conferiu a atividade da criança e pode perceber que a resposta estava correta. Confira o vídeo abaixo que explica a lógica para tal resultado.
Aplicação
Vamos calcular a soma dos 100 primeiros termos da PA (1,2,3,4,5…).
Propriedades da progressão aritmética
1ª propriedade: em uma progressão aritmética finita, a soma dos dois termos equidistantes é igual à soma dos extremos.
2ª propriedade: considerando os três termos consecutivos de uma PA, o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.
3ª propriedade: em uma progressão aritmética finita e ímpar, o termo do meio será igual a média aritmética do primeiro termo com o último.
Tipos de progressão aritmética
Crescente
Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo anterior. A condição fundamental para isso é que a razão seja sempre maior que zero.
Exemplos:
(3,6,9,12,15…) r = 3
(-10, 0, 10, 20, 30,…) r = 10
Decrescente
Na PA é decrescente acontece o inverso da PA crescente, ou seja, quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo anterior. A condição fundamental para isso é que a razão seja sempre menor que zero.
Exemplos:
(-5, -6, -7, -8, -9, -10, -11, …) r = -1
(6, 3, 0, -3, -6, -9…) r = -3
Constante
Uma PA é constante ou estacionária quando todos os termos são iguais. A condição fundamental para isso é que a razão seja sempre igual a zero.
Exemplos:
(1,1,1,1,1…) r = 0
(-2, -2, -2…) r = 0