Resumo de Matemática - Polinômios

Os polinômios são expressões algébricas compostas por coeficientes e partes liberais. Mas, o que são essas partes? Identificá-las é bem simples, pois os números de uma expressão são definidos como coeficientes e as letras como as partes liberais.

Importante destacar que as letras representam os valores que são desconhecidos de uma expressão.

Exemplos:

  • 3ab + 5
  •  x3 + 4xy – 2x²y³
  • 25x² – 9y²

Classificação dos polinômios

Os polinômios são divididos por termos, que são calculados através da multiplicação. A depender dos números de termos o polinômio pode ser classificado como: monômio, binômio e trinômio.

Monômio

O monômio é identificado quando possui apenas um termo algébrico. Vamos aos exemplos:

  • 2x: Esse monômio é composto pelo 2, que é o coeficiente, e x é a parte liberal.
  • 5ab2: Nesse caso, o 5 é o coeficiente e ab2 é a parte liberal.
  • xyz: Já nesse termo, a parte liberal é xyz e ,mesmo não estando aparente, o coeficiente é o número 1, portanto ele pode ser reescrito como: 1xyz

Binômio

Diferente dos monômios, os binômios possuem somente dois termos, podendo ser ligados por sinal positivo (soma) ou negativo (subtração). Confira os exemplos abaixo:

  •  a² – b²
  • 3x + y
  • 5ab + 3cd2

Trinômio

Já os trinômios são identificados quando há três termos, separados por operações de soma ou subtração.

Exemplos:

  •  x² + 3x + 7
  • 3ab – 4xy – 10y
  • 5p + 2r – 4s

Grau dos polinômios

O grau do polinômio é identificado através da soma dos expoentes das partes liberais que compõem o termo. O maior número será considerado o grau do polinômio.

Exemplos:

2×3 + y

O expoente do primeiro termo é 3 e do segundo termo é 1. Como o maior é 3, o grau do polinômio é 3.

2x³ + 4x² + x + 7

Nesse caso, igual ao exemplo anterior, o exponente do primeiro termo é o maior, portanto ele é o grau do polinômio.

 x²y² + 3x³ + 4y

Percebe-se que nesse caso há dois expoentes no mesmo termo, portanto é necessário fazer a soma e identificar qual o maior.

x²y² = 2 + 2 = 4

= 3

4y = 1

Como a maior soma é 4, o grau do polinômio é 4.

Operações com polinômios

Confira abaixo exemplos das operações entre polinômios:

Adição de polinômios

A adição dos polinômios é feita através da soma dos coeficientes dos termos que possuem a mesma parte literal. Os termos semelhantes são colocados lado a lado e a soma dos termos é feita sequencialmente.

Exemplo:

 (- 7x³ + 5 x²y – xy + 4y) + (- 2x²y + 8xy – 7y)

– 7x³ + 5x²y – 2x²y – xy + 8xy + 4y – 7y
– 7x³ + 3x²y + 7xy – 3y

Subtração de polinômios

No caso da subtração dos polinômios, há uma modificação nos sinais de pontuação do segundo polinômio da operação, chamada de distributiva. Apenas após a realização dessa troca de sinais é possível dar sequência ao processo de subtração.

Exemplo:

(4x² – 5ky + 6k) – (3x – 8k)
4x² – 5xk + 6k – 3xk + 8k
4x² – 8xk + 14k

Multiplicação de polinômios

Na multiplicação, o cálculo é feito através da multiplicação das letras iguais e da soma dos expoentes.

Exemplo:

 (3x² – 5x + 8) . (-2x + 1)
-6x³ + 3x² + 10x² – 5x – 16x + 8
-6x³ + 13x² – 21x +8

Divisão de polinômios

Na divisão de polinômios, utiliza-se duas regras matemáticas fundamentais: divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservando a base e subtrair os expoentes). Confira o exemplo da divisão de um polinômio por um monômio, para facilitar a compreensão.

Vamos dividir um polinômio por um monômio com o intuito de entendermos o processo operatório. Observe:

 12x³ + 4x² – 8x | 4x              
– 12x                     3x² + x – 2 
0x + 4x²                                            
– 4x²                                     
0x – 8x          
+ 8x     
0  

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