Resumo de Matemática - Inequação

Inequação é o conceito matemático que estabelece uma relação de ordem entre termos. Diferentemente da equação do primeiro grau e do segundo, que trabalham com igualdades, nesse tipo de expressão os sinais representam as seguintes comparações.

  • >: maior que 
  • < : menor que 
  • ≥ : maior que ou igual
  • ≤ : menor que ou igual

Inequação do 1° Grau

Define-se como inequação do 1° grau a desigualdade na variável independente x que pode ser caracterizada por ax + b > 0; ax + b ≥ 0ax + b < 0 ou ax + b ≤ 0. Para tal, os valores de “a” e “b” precisam integrar o conjunto dos números reais, e “a” ser diferente de zero.

Como calcular?

Para resolver uma inequação basta encontrar o conjunto com os valores possíveis que satisfaça a variável x e torne a sentença verdadeira.

Dada a expressão 5x – x < – 3 + 15, temos:

Soluciona-se como uma equação de primeiro grau, conservando as variáveis (x) e aplicando a regra de sinais:

5x – x < – 3 + 15

4x < 12

x < 12/4

x < 3

O conjunto solução é S: {x Є R; x < 3} 

Esse resultado também é escrito em notação de intervalos reais, que, neste caso, indica que os valores menores que 3 definem a inequação. Entenda na representação gráfica a seguir:

Portanto, o círculo vazio demonstra que apenas os valores menores que 3 formam o conjunto solução desse exemplo. 

Agora, repare no cálculo da inequação:

8x – 16 ≥ 0

8x ≥ 16

x ≥ 16/8

x ≥ 2

Logo, o conjunto solução é S = {x ∈ R; x ≥ 2}. Já a notação em intervalos é feita com o círculo completamente preenchido, pois esclarece que o 2 e todos os valores maiores que ele entram na solução.  

Em 3x – 3 ≤ – 21, observa-se:

3x ≤ – 21+3

3x ≤ – 18

x ≤ -18/3

x ≤ – 6

Assim, os valores menores ou iguais a – 6 satisfazem o problema, isto é: S = {x ∈ R; x ≤ – 6}

Sistemas

Assim como existem sistemas lineares – conjuntos formados por “m” equações e “n” incógnitas – nas equações de grau um, o mesmo acontece com inequações de nível um.

Considere o sistema com duas inequações:

Para resolvê-lo é preciso calcular cada uma individualmente e, em seguida, observar o conjunto solução entre as desigualdades:

4x + 12 ≥ 0

4x ≥ -12

x ≥ -12/4

x ≥ – 3

No primeiro, qualquer valor maior ou igual a – 3 torna a sentença verdadeira.

x + 7 < 0

x < – 7

Já no segundo, qualquer valor menor que – 7 torna a sentença verdadeira.

Sendo assim, o conjunto solução é S = {x ∈ R; x < – 7 ou x ≥ -3}, sendo a representação:

Inequação do 2° Grau

Caracteriza-se como inequação do 2° grau uma desigualdade na variável x cujo o maior expoente é de nível 2. Ela pode ser definida em ax² + bx + c > 0; ax² + bx + c ≥ 0; ax² + bx + c < 0 ou ax² + bx + c ≤ 0, mas os valores de "a", "b" e "c" precisam integrar o conjunto dos números reais e a ser diferente de zero.

Como resolver?

A resolução de uma inequação de grau 2 depende do estudo de sinais e dos seguintes passos:

  • Encontrar as raízes reais e representar esses valores no eixo das abscissas (x);
  • Elaborar o gráfico, que neste caso é uma parábola, interceptando as raízes;

Considerando a inequação x² – 2x – 3 ≤ 0, aplicaremos a Fórmula de Bhaskara para determinar as possíveis raízes reais.

 a = 1; b = 2 ; c = -3

Dentro da fórmula precisamos, inicialmente, calcular a discriminante:

Δ = b² – 4ac

Δ = 2² – 4,1. (-3)

Δ = 4 + 12

Δ = 16

Em seguida, substituir os coeficientes e o delta encontrado:

Note que na fórmula existe o sinal de mais ou menos indicando que devem ser realizadas duas operações: uma com o discriminante positivo e outra com negativo.

Logo, o conjunto solução dessa inequação é S= {x ∈ R; -1 ≤ x ≤ 3}.

Como as raízes são reais, vamos desenhar o gráfico da inequação. Sendo a > 0, a concavidade da parábola será voltada para cima:

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Questões