Equações Polinomiais
Equações Polinomiais para Concursos Públicos
1. Definição
Equação polinomial é toda equação da forma P(x) = 0, onde P(x) é um polinômio de grau n ≥ 1 com coeficientes reais ou complexos.
2. Grau da Equação
É determinado pelo maior expoente da variável x no polinômio. Exemplo: 3x² - 5x + 2 = 0 é uma equação do 2º grau.
3. Tipos Importantes
- 1º Grau (Linear): ax + b = 0 (Solução: x = -b/a)
- 2º Grau (Quadrática): ax² + bx + c = 0 (Solução: Fórmula de Bhaskara)
- Equações Biquadradas: ax⁴ + bx² + c = 0 (Resolve-se por substituição y = x²)
4. Teorema Fundamental da Álgebra
Toda equação polinomial de grau n possui exatamente n raízes complexas (incluindo multiplicidades).
5. Relações de Girard (Relações Raízes-Coeficientes)
Para ax² + bx + c = 0 com raízes r₁ e r₂:
- Soma: r₁ + r₂ = -b/a
- Produto: r₁ · r₂ = c/a
6. Fatoração
Se r é raiz de P(x) = 0, então P(x) é divisível por (x - r). Exemplo: Se 2 é raiz de x³ - 6x² + 11x - 6 = 0, então P(x) = (x-1)(x-2)(x-3).
7. Multiplicidade de Raízes
Uma raiz tem multiplicidade m se o fator (x - r) aparece m vezes na fatoração. Exemplo: (x-1)²(x+2) = 0 tem raiz 1 com multiplicidade 2 e raiz -2 com multiplicidade 1.
8. Dicas para Concursos
- Domine as fórmulas de soma e produto para equações do 2º grau
- Para equações com coeficientes inteiros, teste os divisores do termo independente como possíveis raízes racionais
- Em questões de múltipla escolha, verifique as alternativas substituindo na equação
- Atenção a questões que envolvam soma dos quadrados das raízes: (r₁ + r₂)² - 2r₁r₂