Resumo de Matemática - Cone

O cone é sólido geométrico que possui três dimensões: comprimento ou profundidade, largura e altura, sendo uma das figuras estudadas na geometria espacial. Tal sólido, ainda faz parte do grupo dos corpos redondos – possuem superfícies curvas.

Os corpos redondos (cilindro, esfera e cone) também são chamadas de sólidos de revolução, uma vez que são formados a partir da rotação de uma figura geradora plana ao redor de seu eixo.  No caso do cone, a sua figura geradora é um triângulo retângulo.

Esse sólido também pode ser formado com origem em um círculo com centro (O) e raio (R), dentro de no plano B e um ponto (P) fora do plano. O cone será formado por segmentos de reta unindo o ponto P aos pontos do círculo.

Elementos

Esse sólido é formado pelos seguintes elementos:

  • Raio da base (r): raio do círculo que forma a base;
  • Geratriz (g): segmentos de retas em um ponto da circunferência até o vértice;
  • Vértice (V): ponto externo ao plano da base;
  • Eixo de rotação: reta que parte do centro da base até o vértice superior e reta que define a altura (h);
  • Ângulo de setor (θ): no topo da figura há um ângulo dado por: θ = 2πr/g ou θ = 360ºr/g;
  • Superfícies: a superfície lateral é a reunião das geratrizes e superfície total é a reunião do círculo da base com a superfície lateral.

Classificação

Essas figuras podem ser classificados em três tipos: reto, oblíquo e equilátero.

Cone reto

Nesse tipo de sólido é possível fazer uma relação com o Teorema Pitágoras para o cálculo da geratriz, do raio da base e da altura. Comparando os elementos do cone aos do triângulo retângulo (figura geradora) obtemos:

  • Geratriz = hipotenusa no triângulo;
  • Altura = cateto no triângulo;
  • Raio da base = cateto no triângulo;

Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos a seguinte relação: g² = h² + r².

Cone oblíquo

Já esse tipo, a reta que parte da base e liga o vértice superior não é perpendicular à base. Deste modo, a reta e a base não forma um ângulo reto.

Cone equilátero

Esse sólido será equilátero, quando ele for reto, com base circular e a seção meridiana formar um triângulo equilátero. Sendo assim, a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

Fórmulas do cone

Área da base: essa região limitada por um círculo e pode ser calculada pela expressão:

Ab = π.r²

Onde,

Ab: área da base

π (Pi) = 3,14

r: raio

Área lateral: formada pela geratriz e calculada a partir da seguinte fórmula:

Al = π.r.g

Al = 2. π.r² (cone equilátero)

Onde,

Al: área lateral

π (Pi) = 3,14

r: raio

g: geratriz

Área total: para realizar esse cálculo é necessário somar a área da lateral e a área da base:

At = π.r (g+r)

At = 3. π. r² (cone equilátero)

Onde,

At: área total

π = 3,14

r: raio

g: geratriz

Volume: essa medida equivalente a 1/3 do produto entre a área da base pela altura:

V = 1/3 π.r². h

V =  π.r³.√3/3 (cone equilátero)

Onde,

V = volume

π = 3,14

r: raio

h: altura

Tronco de cone

Quando o cone sofre uma intersecção de um plano paralelo à sua base circular, é formada uma nova figura geométrica espacial denominada tronco de cone. Esse novo sólido possui duas bases circulares, sendo uma maior que a outra.

Fórmulas

Área da Base Menor

Ab = π.r²

Onde,

Ab: área da base menor

π = 3,14

r: raio da base menor

Área da Base Maior

AB = π.R²

Onde,

AB: área da base maior

π = 3,14

R: raio da base maior

Área Lateral

Al = π.g. (R + r)

Onde,

Al: área lateral

π = 3,14

g: geratriz

r: raio da base menor

R: raio da base maior

Área Total

At = AB + Ab + Al

Onde,

At: área total

AB: área da base maior

Ab: área da base menor

Al: área lateral

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