Álgebra Linear
Álgebra Linear para Concursos Públicos
Álgebra Linear é um ramo da matemática essencial para diversos concursos, especialmente engenharias, economia e áreas técnicas. Aborda estruturas vetoriais, transformações lineares e sistemas de equações.
Conceitos Fundamentais
- Vetores: Grandezas com direção, sentido e módulo. Operações básicas: soma, subtração e multiplicação por escalar.
- Espaços Vetoriais: Conjuntos que satisfazem propriedades de fechamento para adição e multiplicação por escalar.
- Matrizes: Arranjos retangulares de números. Operações incluem adição, multiplicação e transposição.
Sistemas Lineares
- Forma Geral: a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b.
- Classificação: Possível (determinado/indeterminado) ou impossível.
- Métodos de Resolução: Escalonamento (Gauss), Regra de Cramer e inversão de matrizes.
Determinantes e Inversão de Matrizes
- Determinante: Valor escalar que indica se uma matriz é invertível (não nulo) e propriedades de transformações.
- Matriz Inversa: Matriz que, multiplicada pela original, resulta na identidade. Só existe se o determinante for ≠ 0.
Transformações Lineares
- Funções que preservam adição e multiplicação por escalar (T(u + v) = T(u) + T(v)).
- Núcleo (Ker): Conjunto de vetores que são mapeados para o vetor nulo.
- Imagem (Im): Conjunto de vetores resultantes da transformação.
Autovalores e Autovetores
- Autovetor (v): Vetor não nulo que, após uma transformação, mantém sua direção (Av = λv).
- Autovalor (λ): Escalar associado ao autovetor.
- Aplicações: Diagonalização de matrizes e sistemas dinâmicos.
Dicas para Concursos
- Foque em sistemas lineares, matrizes e determinantes, temas frequentes em provas.
- Pratique exercícios de classificação de sistemas e cálculo de inversas.
- Revise propriedades de determinantes (ex.: det(AB) = det(A)det(B)).