Resumo de Matemática - Tangente

Tangente é a razão, ou seja, a divisão entre cateto oposto e cateto adjacente de um ângulo do triângulo retângulo. Essa relação depende do ângulo considerado.

É importante lembrar que um triângulo retângulo é aquele que possui três ângulos internos e possui os seguintes elementos: catetos (menores lados) e hipotenusa (maior lado, oposto ao ângulo reto).

Esse cálculo envolve apenas os catetos, que são os lados que formam o ângulo de 90º.

Conceitos importantes

Alguns conceitos devem ser relembrados para a compreensão da tangente, a começar pela trigonometria. É a área da matemática que estuda as relações que existem entre os lados e os ângulos de um triângulo.

As funções trigonométricas são aquelas relacionadas aos ângulos retângulos: seno, cosseno e tangente.

Seno é a razão entre cateto oposto e hipotenusa, enquanto cosseno é a proporção entre cateto adjacente e hipotenusa.

Tangente, como já foi apresentado, é a divisão entre os catetos, oposto e adjacente.

Outra definição importante é a de Círculo Trigonométrico. É uma circunferência usada para representar números reais relacionados a ângulos, ou seja, usado no estudo das razões trigonométricas.

Tangente de um ângulo

Observe a imagem abaixo:

É forma é possível determinar que:

 

Ângulos notáveis

Os ângulos chamados notáveis são aqueles onde o valor da tangente é calculado de maneira fácil. São eles: 30º, 45º e 60º.

Como se trata de um triângulo equilátero, ou seja, ele possui os três lados iguais, a medida da altura será calculada da seguinte forma:

 

Para o ângulo de 45º:

Dessa forma, é possível construir a seguinte tabela:

Função 

A função de uma tangente é definida por meio da seguinte fórmula: 

Observe a imagem abaixo:

No círculo trigonométrico, a tangente de um ângulo estará sempre paralela ao eixo das ordenadas (y), ou seja, será positiva no 1º e 3º quadrantes e negativa no 2º e 4º. Pode-se concluir que a função é válida para todo x real.

Sendo assim, é possível identificar uma tangente a partir das seguintes características:

  • Os valores são sempre positivos nos quadrantes ímpares;
  • Os valores são sempre negativos nos quadrantes pares;
  • É crescente em cada valor.

Gráfico da função tangente

O gráfico dessa função pode ser construído a partir da tabela abaixo:

São chamadas assíntonas as retas onde a função tangente não existe: x=π2+kπ.

Lei das tangentes

Determina a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos.

Veja o exemplo:

Considere a, b e c os comprimentos dos três lados do triângulo e α, β e ʏ os ângulos opostos a estes referidos lados. De acordo com a lei das tangentes:

Para os triângulos que não sejam isósceles, a lei das tangentes estabelece ainda as seguintes relações:

A partir da lei dos senos, podemos demonstrar a lei das tangentes da seguinte forma:

Razões trigonométricas no Enem

Para se dar bem nas questões que envolvam esse assunto no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), é fundamental saber identificar e diferenciar cada um dos elementos do triângulo retângulo (cateto oposto, adjacente e hipotenusa), além das demais razões (seno e cosseno), já explicados nesse texto.

De maneira resumida, é possível identificar as diferenças a partir das seguintes análises:

O seno de um ângulo é a razão entre os ângulos que formam o outro ângulo agudo:

Já o cosseno é a divisão entre a medida do cateto adjacente e a hipotenusa:

A tangente é a razão entre os catetos:

A partir daí, fica muito mais fácil interpretar as questões e resolvê-las de maneira assertiva.

Curiosidades sobre tangente

  • A noção de tangente surgiu muito depois da origem do seno e cosseno devido a necessidade de se calcular alturas. Primeiramente, os astrônomos desenvolveram os conceitos de seno e cosseno com o objetivo de medir distâncias em linha reta entre dois pontos situados sobre a superfície da Terra.
  • A trigonometria é um dos ramos da matemática. É ela a responsável pelos estudos das relações entre comprimentos de triângulos retângulos.
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