Resumo de Matemática - Sistemas de Equações

Na matemática, os sistemas de equações são conjuntos de expressões compostas por mais de uma incógnita. Eles são úteis para determinar os valores de x e y nas equações com duas variáveis.

Para resolver um sistema é possível utilizar os métodos de adição ou substituição.

Método de Substituição nos Sistemas de Equações

O método de substituição, também chamado de sistemas lineares, será dividido em quatro etapas para facilitar a compreensão. Confira o exemplo abaixo:

Primeira Etapa: Isolar a incógnita

O primeiro passo para se solucionar um sistema é escolher uma incógnita para descobrir o seu valor algébrico. É importante lembrar que uma incógnita é uma quantidade desconhecida, mas que se pretende descobrir para resolver um problema. Normalmente, essas incógnitas são representadas pelas letras x, y e z.

Entendendo isso, é necessário isolar cada uma delas para facilitar no cálculo. Portanto, a equação fica da seguinte forma:

Nota-se que, para alterar a incógnita y de posição, basta mudar o 5x de membro. Vale ressaltar que, como ele mudou de posição, passa de positivo para negativo.

Segunda Etapa: realizar a substituição

O segundo passo para resolução do problema é substituir o valor algébrico de y da segunda equação, de acordo com o valor descoberto da primeira. Veja:

y = 70 – 5x

Portanto, na segunda equação ficará:

4x – 2y = 0

4x – 2 (70 – 5x) = 0

Terceira Etapa: realizar os cálculos

Feita a substituição, percebe-se que sobrou apenas uma incógnita para ser solucionada, que é o x. Com isso, basta calcular o valor da incógnita restante, resolvendo da seguinte forma:

4x – 2 (70 – 5x) = 0

4x – 140 + 10x=0

14x = 140

x = 140 / 14

x = 10

Após descobrir o valor número da incógnita, é possível realizar a última etapa.

Quarto Etapa: encontrar o valor da segunda incógnita

Para essa etapa o processo fica mais simples, basta fazer a substituição do número encontrado na etapa três em alguma das equações. Nesse caso, será substituído o valor de x da primeira equação, calculando da seguinte forma:

5x + y = 70

5(10) + y = 70

50 + y = 70

y = 70 – 50

y = 20

Método de Adição

Nesse método, é necessário realizar a soma das equações de cada termo. Esse caso acontece quando há uma incógnita na primeira equação com um número positivo e ela aparece novamente na segunda com um número negativo. Veja o exemplo:

Importante destacar que esse formato também é utilizado quando um dos termos de uma equação é múltiplo de um termo da outra, conforme o exemplo abaixo:

Em outras situações esse método também pode ser usado, porém é composto por mais etapas, envolvendo a multiplicação de números decimais, por exemplo, tornando o cálculo mais difícil.

Confira o exemplo abaixo e o passo a passo da sua resolução.

Primeira Etapa: organizar os termos do sistema

Nessa etapa é necessário posicionar os termos iguais um abaixo do outro, para facilitar a operação. Portanto, se tem:

Segundo etapa: multiplicar uma das equações por uma constante apropriada

No exemplo citado, percebe-se que os elementos -2y e -6y são múltiplos. Portanto, para que eles se tornem elementos inversos, é preciso multiplicar o -2y por -3, resultando em 6y, se tornando o oposto de -6y da segunda equação.

Importante salientar que fazendo essa alteração será necessário multiplicar todos os termos da primeira equação pelo mesmo número, ficando da seguinte forma:

Terceiro passo: somar as equações

Agora é a hora de somar as equações termo a termo. Ao final da operação se terá o resultado da primeira incógnita.

Observe que a ideia dessa soma é zerar uma das incógnitas. Caso isso não aconteça, bem provável que haja algum erro na resolução da equação.

Quarto passo: encontrar o valor numérico da segunda incógnita

Para esse último processo, é só substituir o valor encontra no cálculo anterior em uma das equações iniciais. Para esse exemplo, será utilizado a primeira equação:

Para fazer esse último passo, basta substituir o valor numérico da incógnita encontrada em uma das duas equações iniciais. Faremos isso com a primeira equação:

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