Resumo de Matemática - Sequência numérica

Sequência numérica, em matemática, corresponde a uma função cujo domínio é um conjunto de elementos contáveis e ordenados. Por exemplo, (5, 10, 15, 20, 25…) corresponde a uma sequência de números múltiplos de 5.

Com base no exemplo anterior, podemos perceber que os múltiplos do número 5 estão agrupados em uma sequência numérica, seguindo uma sucessão, ou seja, uma ordem no conjunto.

Confira outros exemplos abaixo:

  1. (2, 4, 6, 8, 10, 12, …) sequência de números pares positivos;
  2. (2, 3, 5, 7, 11, 13…) sequência de números primos;
  3. (I, II, III, IV, V, VI, VI…) sequência de números romanos;
  4. (2, 4, 6, 8, 10, 12) sequência de números positivos, pares e menores que 14.

Como classificar uma sequência numérica

Uma sequência numérica pode ser classificada de diversas maneiras. Veja abaixo:

Intervalo aberto e fechado

O conceito de sequência numérica está estritamente ligado à noção de conjuntos numéricos – agrupamento de elementos (números). Sendo assim, existem intervalos e isso significa que o conjunto possui cada número real entre dois extremos indicados.

A sequência numérica de intervalo fechado, do tipo (1,7) = {x R / 1 < x < 7}, os elementos 1 e 7 não fazem parte do conjunto, ou seja, do intervalo numérico. Logo, x = {2, 3, 4, 5, 6}.

Porém, se {x R / 1 ≤ x ≤ 7} esse será um intervalo fechado, pois os elementos 1 e 7 agora fazem parte do conjunto numérico. Logo, x = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Uma situação intermediária acontece quando {x R / a < x ≤ b} ou {x R / a ≤ x < b}, isso implica em dizer que nos intervalos dos tipos semifechado ou semiaberto, o elementos 1 ou o elemento 7 faz parte do intervalo. Logo, x = {2, 3, 4, 5, 6, 7} ou x = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Sequência finita e infinita

O exemplo “d” representa um tipo de sequência numérica finita, pois a quantidade de elementos do conjunto é limitada, ou seja, tem fim. A sequência finita possui a seguinte estrutura geral:

 (a1, a2, a3, a4 ... an)

Já os exemplos “a”, “b” e “c” são sequências numéricas infinitas, isto é, a quantidade de elementos do conjunto é ilimitada, sem fim. A sequência infinita possui a seguinte estrutura geral:

(a1, a2, a3, a4... an ...)

Note que as sequências infinitas possuem reticências no final, indicando a infinidade de elementos. Também é importante ressaltar que os elementos de todas sequências são indicados pela letra a, enquanto o último termo, o enésimo, é representado por an.

Ainda de acordo com o exemplo “d”, podemos concluir que:

  • 1° elemento: a1 = 2
  • 4° elemento: a4 = 8
  • Último termo: an = 12

Sequência crescente e decrescente

Quando a contagem de elementos aumenta o valor, dizemos que a ordem é crescente. Mas, se a contagem é do maior valor para o menor, a ordem é decrescente. Essa condição também é válida para as sequências numéricas, observe abaixo:

(a1, a2, a3, a4 … an) sequência numérica crescente. Exemplo:

(1, 3,5, 7, 9,11, 13 …)

(a1, a2, a3, a4…an) sequência numérica decrescente. Exemplo:

(21, 20, 19, 18, 17…)

Leis

A Lei de Formação, também denominada de Termo Geral, é utilizada para calcular qualquer elemento de uma sequência:

an = 2n – 1

Na tabela abaixo encontram-se os termos gerais de algumas sequências numéricas:

Sequência Termo
Números pares 2n
Números ímpares 2n – 1
Múltiplos de três 3n
Quadrados perfeitos

Já a Lei da Recorrência permite calcular qualquer elemento de uma sequência a partir dos seus elementos antecessores:

an = an-1, an-2,...a1

Aplicação

Vamos calcular os quatro primeiros termos de uma sequência cujo termo geral é 2n– 10:

  • Se n = 1, então 2(1) – 10 = -8
  • Se n = 2, então 2(2) – 10 = -6
  • Se n = 3, então 2(3) – 10 = -4
  • Se n = 4, então 2(4) – 10 = -2

Os quatro primeiros termos dessa sequência são (– 8, – 6, – 4 e – 2...).

Progressão aritmética e geométrica

As progressões aritmética e geométrica são dois tipos de sequência numérica frequentemente utilizadas na matemática. Entenda como elas funcionam:  

A progressão aritmética (PA): sequência numérica onde a diferença entre dois termos é a mesma, dada por uma constante “r”, chamada de diferença comum ou razão da progressão aritmética. Exemplo:

(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16) PA finita com razão 2.

A progressão geométrica (PG): sequência numérica determinada pela multiplicação de um elemento com o quociente (q) ou razão da PG. Exemplo:

(2, 4, 8, 16, 32 ,64 …) PG infinita com razão 2.

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