Resumo de Matemática - Números Irracionais

Simbolizados pela letra I ou Ir, os números irracionais são aqueles que não podem ser escritos no formato fracionário, ou seja, as composições não permitem frações com numeradores e denominadores que integram o conjunto dos números inteiros.

Esses números são decimais, não periódicos e infinitos. Isso significa que não há continuidade dos algarismos na forma decimal. Veja alguns exemplos:

√2 = 1,41421356237309…

√7 = 2,645751311064…

√12 = 3,464101615137755…

√17 = 4,12310562561766…

√52 = 7, 211102550927979…

Nota-se que os números presentes nas raízes são naturais, mas todos eles não apresentam resultados exatos.

Tipos de Números Irracionais

Como vimos, os irracionais caracterizam-se pela formação decimal, infinita e não periódica. Além disso, eles podem ser divididos em algébricos ou transcendentes.

Define-se como transcendental o número real que não serve de raiz para uma equação polinomial de coeficientes inteiros. Essa vertente é tida como irracional, pois não pode ser escrita em fração.

Por outro lado, os algébricos são números reais que solucionam qualquer equação polinomial de coeficientes inteiros. A √2, por exemplo, é algébrica porque é a raiz exata de x² - 2 = 0.

Os principais números transcendentes são:

Número Pi (π) 

O número pi é um dos irracionais mais conhecidos. Ele é dado pela razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro, sendo o valor igual a 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230 78164…

Em virtude da infinidade de números, usa-se nos cálculos a aproximação de 3,14.

Número de Neper (e)

Assim como o número pi, o número de Neper, também chamado de constante exponencial, é irracional e transcendente. Base dos logaritmos naturais, seu valor aproximado é 2,718281.

Número Áureo (Φ)

O número áureo ou de ouro é uma constante algébrica irracional representada pela letra gregra Phi. Com valor aproximado de 1,618033, tornou-se objeto de estudo matemático por ser encontrado na arte, principalmente em pinturas renascentistas, e apresentar determinadas relações com os elementos da natureza.

Conjuntos Numéricos

Os conjuntos números unem uma variedade de elementos que compartilham das mesmas propriedades. Apesar da existência de diversificados números, certos conjuntos surgem com maior frequência, a exemplo dos reais.

O conjunto dos números reais é composto pelos números racionais e irracionais. No entanto, em razão da infinidade de elementos, existem mais números irracionais dentro desse grupo.

Observação: se determinado número real integra o conjunto dos racionais, jamais ele será também irracional, e vice-versa.

Dízimas Periódicas x Números Irracionais

Apesar de resultarem em sequências decimais infinitas, assim como os irracionais, as dízimas periódicas podem ser escritas no formato de fração. Isso é possível porque as dízimas são números racionais que, a partir de algum momento, começam a repetir infinitamente determinados algarismos.

Essa continuidade é chamada de período e pode ser transformada em fração. Confira:

2,33333…= 7/3

0,33333…= 1/3

0,55555… = 5/9

0,54545… = 54/99

Portanto, as dízimas decimais não são o mesmo que números irracionais, pois sempre possuem uma periodicidade na repetição.

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras, no qual define que a soma dos quadrados dos catetos corresponde ao quadrado da hipotenusa (a² = b² + c²), deparou-se com um dilema quando a figura plana do triângulo retângulo mostrou catetos com medidas iguais a 1.

Diante dos cálculos, não haveria valor racional para a hipotenusa. A partir desse momento iniciou-se os estudos para uma nova classificação dos números.

O primeiro racional descoberto foi a √2, pois, ao considerarem um quadrado divido por uma diagonal em dois triângulos retângulos, observaram que a medida dessa diagonal resultou em número irracional. Ou seja:

Características Gerais

  • Os irracionais são decimais, infinitos e não periódicos;
  • Toda raiz quadrada que não resulta em um quadrado perfeito é irracional;
  • Não existem elementos em comum entre o conjunto dos números racionais e o conjuntos dos irracionais;
  • As dízimas periódicas jamais serão irracionais, pois originam da divisão entre dois números inteiros, ou seja, são racionais;
  • O número transcendente áureo (número de Euler) está presente na sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…);
  • As operações matemáticas de soma, subtração, multiplicação e divisão entre irracionais podem resultar valores racionais. Exemplos: √2 + (1 – √2) = 1; √2.√8 = √16 = 4; √6/√3 = 2.
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