Resumo de Matemática - Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) corresponde ao menor número positivo, diferente de 0 (zero), que é múltiplo comum de dois ou mais números. O MMC, por exemplo, é utilizado em operações matemáticas com frações – quando se deseja obter um denominar em comum.

Os múltiplos de um número podem ser encontrados através da multiplicação dele por números naturais. Por exemplo:

2 x 0 = 0; 2 x 1 = 2; 2 x 2 = 4; 2 x 3 = 6; 2 x 4 = 8; 2 x 5 = 10; 2 x 6 = 12…

12 x 0 = 0; 12 x 1 = 12; 12 x 2 = 24; 12 x 3 = 36; 12 x 4 = 48; 12 x 5 = 60…

M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 121 14…} e M (12) = {12, 24, 36, 48…}. O menor número da intersecção desses dois conjuntos é 12, logo ele é MMC de 2 e 12.

Fazendo a comparação na tabuada desses números, os resultados obtidos são os mesmos. Observe:

2 x 0 = 0 12 x 0 = 0
2 x 1 = 2 12 x 1 = 12
2 x 2 = 4 12 x 2 = 24
2 x 3 = 6 12 x 3 = 36
2 x 4 = 8 12 x 4 = 48
2 x 5 = 10 12 x 5 = 60
2 x 6 = 12 12 x 6 = 72
2 x 7 = 14 12 x 7 = 84
2 x 8 = 16 12 x 8 = 96
2 x 9 = 18 12 x 9 = 108
2 x 10 = 20 12 x 10 = 120

Os métodos utilizados anteriormente para encontrar o MMC são bem diretos, mas para números grandes ou mais de dois números, não são práticos. Para essas situações o indicado é usar a fatoração, que consiste na decomposição dos números em fatores primos.

Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) por fatoração

Segundo o Teorema Fundamental da Aritmética, todos os elementos que pertencem ao conjunto números naturais, maiores que 1, podem ser decompostos em um produto de dois ou mais fatores. Esse atributo é denominado de forma fatorada do número.

Para realizar a decomposição de mais de um número é necessário encontrar os números primos. Esse processo é realizado por meio de contínuas divisões, por números que dividam pelo menos um dos decompostos, até que todos se igualem até 1.

Caso algum dos elementos não for divisível por esse número primo, basta repeti-lo no lugar do resultado. Após se esgotarem as divisões, por fim, todos os fatores primos são escritos de forma linear e multiplicados entre si. O produto dos fatores primos é o MMC.

Observe abaixo o cálculo para encontrar o MMC dos números 10, 26 e 144:

Logo, o MMC de 10, 26 e 144 é 9.360.

Método alternativo

Ainda de acordo com o Teorema Fundamental da Aritmética, os números primos podem ser classificados como os elementos atômicos, uma vez que, quando combinados formam um número composto.

Observe abaixo o grupo de números que foram decompostos de maneira individual:

A forma fatorada dos números é:

Logo:

45 = 20 x 3² x 5¹

120 = 2³ x 3¹ x 5¹

75 = 20 x 3² x 5²

O MMC é o número que tem o maior múltiplo de cada tipo de átomo diferente, sendo assim:

MMC(45,120,75) = 2³ + 3² + 5² = 8 x 9 x 25 = 1.800

Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) em frações

Na soma ou subtração de frações é necessário que os denominadores sejam iguais. Para isso, é feito o cálculo do MMC. Observe o exemplo abaixo:  

Para resolver a operação 2/3 + 7/2, o primeiro passo é igualar os denominados das frações, identificando o MMC entre 3 e 2, que é 6. O MMC assumirá a função de novo denominador e, consequentemente, será dividido pelo antigo e multiplicado pelo numerador correspondente:

Na operação 3/5 – 2/7 – 7/6, o princípio é o mesmo da soma:

Propriedades do Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

  • Entre dois números primos, o produto entre eles será o MMC;
  • Entre dois números em que o maior é divisível pelo menor, o MMC corresponde ao maior deles;
  • Quando multiplicados ou divididos dois números por outro diferente de zero, o MMC aparece multiplicado ou dividido por esse outro número;
  • Quando dividido o MMC de dois números pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, o resultado é igual ao produto de dois números primos entre si;
  • Quando multiplicado o MMC de dois números pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, o resultado é o produto desses números;

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