Resumo de Matemática - Máximo Divisor Comum (MDC)

O Máximo Divisor Comum (MDC) equivale ao maior divisor entre dois ou mais números naturais.

Quando uma divisão termina em zero, o número que possibilita essa operação exata  é chamado de divisor. O número 18, por exemplo, é divisível por 1, 2, 3, 6, 9 e 18. Então, eles são os divisores de 18, pois cada um origina um resultado exato.

Todo número natural possui divisores em comum. Caso seja divisível apenas por 1 e por ele mesmo, pertencem a classe dos números primos. O zero é o único elemento indivisível para todos os valores.

Cálculo do Máximo Divisor Comum (MDC)

O cálculo do Máximo Divisor Comum (MDC) pode ser realizado de duas formas: pela decomposição simultânea em fatores primos ou fatoração.

Decomposição simultânea em fatores primos

O procedimento desse método envolve a decomposição primária de cada número. Por isso, seguem as seguintes orientações:

  • Passo 1: decompor os números em fatores primos;
  • Passo 2: selecionar os fatores em comum que apresentam menores expoentes;
  • Passo3: multiplicar esses fatores.

Sendo assim, o Máximo Divisor Comum (MDC) de 36 e 90 é:

36 = 2.2.3.3 = 2². 3²

90 = 2.3.3.5 = 2. 3². 5

Como o MDC de dois ou mais números através da decomposição é o produto dos fatores em comum (cada um elevado ao menor expoente), a operação com os valores acima é igual a 2.3.3 ou 2. 32 . Portanto, o Máximo Divisor Comum (MDC) de 36 e 90 é 18.

Entre 20, 30 e 50 o MDC é:

20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5

30 = 2 x 3 x 5

50 = 2 x 5 x 5 = 2 x 5²

Os fatores que dividem todos os elementos ao mesmo tempo são 2 e 5. Desta forma, os que apresentam menores expoentes são multiplicados. Neste caso, os dois fatores estão elevados a 1, logo:

MDC (20; 30 e 50) = 2.5 = 10.

Fatoração

A fatoração corresponde a divisão de um determinado número sucessivas vezes. Durante a operação, se não for divisível pelo menor fator, deve ser conservado. O MDC é encontrado pela multiplicação dos fatores em comum.

Pelo método da fatoração, deve-se dividir os três valores pelo menor número possível até atingir o resto igual a 1. Na imagem abaixo é possível observar que o único número que conseguiu dividir os elementos ao mesmo tempo foi o 3. Logo, podemos concluir que o MDC (6; 12 e 15) é 3.

Na fatoração do segundo caso pode-se observar que o 2 e 5 foram os únicos que dividiram os outros números simultaneamente. Então, de acordo com a regra, o MDC de 20 e 50 é 10 (quociente da multiplicação entre os fatores em comum).

Além desses processos, existe um outro mecanismo chamado algoritmo de Euclides ou das divisões sucessivas, que funciona da seguinte maneira:

Dado o MDC de 360 e 305, temos:

Divide-se o número maior pelo menor para encontrar o resto (quantas vezes o 305 cabe dentro do 360):

360/305 = 55 (resto)

Em seguida, divide-se o menor valor pelo resto encontrado:

305/ 55 = 30 (resto)

Repete-se esse procedimento até obtermos o resto igual a zero, ou seja:

55/30 = 25 (resto)

30/25 = 5 (resto)

25 / 5 = 5 (divisão exata de resto zero)

O penúltimo valor obtido, isto é, anterior ao resto igual a zero, é o MDC dos números iniciais. Desta forma, o Máximo Divisor Comum (MDC) de 360 e 305 é 5.

Características do Máximo Divisor Comum (MDC)

  • Na fatoração de dois ou mais números naturais, o MDC corresponde ao quociente da multiplicação dos fatores comuns entre eles. Em 12, 20 e 24 o máximo divisor é 4.
  • Os números são primos entre si quando o maior divisor entre eles é 1. Em 11 e 7; 35 e 21, por exemplo, o único que divide ambos simultaneamente é 1.
  • Entre dois números consecutivos o MDC sempre será igual a 1, pois eles são primos entre si. Por exemplo: 26 e 27 (o máximo divisor neste caso é 1).
  • Na fatoração de dois ou mais números, sendo um deles o divisor de todos os outros, conclui-se que o próprio divisor será o resultado do MDC. Entre os números 3 e 6, por exemplo, 3 é divisor de 6 e dele mesmo, logo é ele o MDC de ambos.

Resumo sobre Máximo Divisor Comum (MDC)

O Máximo Divisor Comum (MDC) equivale ao maior divisor entre dois ou mais números naturais. Ou seja, quando uma divisão termina em zero, o número que possibilita essa operação exata  é chamado de divisor.

Todo número natural possui divisores em comum. Se for divisível apenas por 1 e por ele mesmo, pertencem a classe dos números primos. Já o zero é o único elemento indivisível para todos os valores.

Seu cáclulo pode ser feito de duas maneiras: pela decomposição simultânea em fatores primos ou fatoração.

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