Resumo de Matemática - Matrizes

Matrizes são informações numéricas estruturadas em tabelas formadas por linhas (horizontais) e colunas (verticais). Esse arranjo possibilita a execução de diversos cálculos ao mesmo tempo.

Elas podem ser representadas por colchetes, parênteses, barras simples ou barras duplas.

Componentes da matriz

As tabelas mxn (“m por n”) são classificadas como matrizes. Cada número é determinado por aij, no qual o i significa a posição do número na linha, e j a posição na coluna.

As linhas são numeradas da esquerda para a direita, e as colunas de cima para baixo. Na figura abaixo, vemos que o a1,1 está presente na primeira linha e segunda coluna, o a2,1 na segunda linha e primeira coluna, o a2,n na segunda linha e coluna n, e assim por diante.

As matrizes possuem duas diagonais, uma principal e a outra secundária. A diagonal principal é composta pelos números em que i = j. Já a secundária, é formada pelo resultado das somas de i com j.

Tipos de Matrizes

Algumas matrizes são tidas como especiais por causadas suas formas. Entre elas, destacam-se:

Linha

Categoria que apresenta somente uma linha (m = 1), por exemplo:

C = [8,10,12]

C é uma matriz de 1 por 3

Coluna

Matriz composta por apenas uma coluna (n = 1).

 

A é uma matriz de coluna de 3 por 1.

Nula

Todos os elementos da matriz são iguais a zero.

Neste caso, A é uma matriz nula de 3 por 3.

Quadrada

Uma matriz é classificada de linha quando o número de colunas for igual ao de linhas. Em uma quadrada mn, a ordem será n. Ou seja, em uma matriz 3 por 3, por exemplo, a ordem é 3.

Na matriz de ordem n os elementos de i = j compõem a diagonal principal. Já os números de i + j = n + 1 formam a secundária.

Diagonal

É uma matriz da quadrada no qual os elementos que não integram a diagonal principal são iguais a zero (nulos).

Identidade

Também chamada de unidade, é um tipo de matriz quadrada e diagonal. Ou seja, os elementos que não integram a diagonal principal são iguais a zero, e os que pertencem são iguais a 1. É representada pela letra I e possui ordem n.

O exemplo acima é uma matriz identidade de ordem 3.

Inversa

Outro tipo de matriz quadrada que funciona quando duas matrizes dão origem a uma matriz identidade com a mesma quantidade de linhas e colunas.  

Fique atento nas seguintes regras:

  • Cada matriz possui somente uma inversa;
  • Podem ser invertidas quando o produto de matrizes quadradas resultarem em uma quadrada (In). Por isso, nem todas elas apresentam inversas;
  • A inversa da inversa é a matriz original:  A = (A-1)-¹;
  • A inversa da matriz identidade é a própria matriz identidade: I-¹ = I.

Oposta

São matrizes com os sinais dos elementos trocados. Isto é, se uma matriz é A, a sua oposta será – A.

Transposta

A transposta possui os mesmos elementos de uma determinada matriz original, mas colocados em ordens diferentes. Ela é formada pela troca dos elementos das linhas da original pelas suas colunas. Ou seja, se a matriz for A, a transposta será A elevado a t.

Na matriz de ordem 3 por 2 a sua transposta será 2 por 3, pois todas as colunas de A passarão para linhas de A elevado a t. Vejamos no exemplo:

  • A transposta da transposta é uma matriz original;
  • A transposta da soma de duas matrizes é a igual a soma da transposta de cada uma separadamente;
  • Uma matriz é considerada simétrica quando é igual a sua transposta;
  • Uma matriz quadrada é ortogonal quando a sua transposta for igual a inversa. 

 Operações com matrizes

Operações matemáticas podem ser aplicadas em matrizes. Entenda cada uma delas:

Igualdade

Matrizes de ordem mxn são iguais quando seus elementos são iguais. Isto é:

Exemplo:

Adição

Para somar duas ou mais matrizes deve-se unir os elementos de cada uma delas, ou seja, adição de linha com linha, e coluna com coluna.

As propriedades da soma de matrizes são:

  • Comunicativa: A + B = B + A
  • Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
  • Número neutro: A + N = N + A = A
  • Número oposto: A + (-A) = (-A) + A = N

A subtração funciona da mesma forma que a soma.

Multiplicação

Os elementos da linha de uma matriz são multiplicados pelos da coluna da outra, resultando em uma matriz dada pela soma das multiplicações. Entenda:

  • A multiplicação é possível caso o número de linhas de uma matriz seja igual à quantidade de colunas da outra;
  • A matriz resultante deve ter o mesmo número de linhas da primeira matriz, e mesma quantidade de colunas da segunda.
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