Resumo de Matemática - Lógica matemática

A lógica matemática analisa as aplicações da lógica formal à matemática, com objetivo de verificar se uma proposição é verdadeira ou falsa. Ela pode ser utilizada para resolver simples questão de vestibular e até na construção da linguagem de computadores.

Mas você sabia que a lógica nem sempre esteve associada à matemática? Inicialmente, a lógica foi estudada com a retórica, por meio do silogismo e da filosofia. Essa também foi a base do raciocínio lógico. 

De acordo com Aristóteles, um dos maiores colaboradores da área, a lógica não era um ciência e sim um instrumento correto para pensar.

Essa linha de pensamento foi seguida por muitos anos. Somente em meados do século XIX, George Boole e Augustus de Morgan apresentaram os fundamentos da lógica algébrica. Esse foi o pontapé para lógica matemática tornar-se uma subárea da matemática.

Lógica proposicional

Na lógica matemática, o conceito mais básico é o de proposição, que deriva do verbo propor “apresentar; colocar diante de”. A proposição também é definida como uma sentença que pode ser escrita em linguagem formal ou não.

Uma proposição é uma sentença afirmativa, a qual é associada a um valor verdadeiro ou falso, mas nunca não ambos. Geralmente é indicada por uma letra minúscula (p, q, r, s ou t).

Por exemplo:

p: Carla é professora

Se consideramos que a proposição p é verdadeira, ou seja, Carla é professora, então podemos afirmar que o valor lógico da proposição p é verdadeira ou usar a equação VL(p) = v.

As proposições ainda podem ser classificadas como simples ou compostas. No primeiro caso, elas estão sozinhas e desacompanhadas de outras proposições. Por exemplo:

p: o carro é azul

Quando são combinadas duas proposições, forma-se uma proposição composta, ou seja, duas ou mais proposições conectadas entre si. Por exemplo:

r: o carro é azul e Pedro é motorista

Lógica matemática: operações

As operações realizadas a partir de proposições são denominadas de operações lógicas. Essas operações seguem as regras do cálculo proposicional e são semelhantes à aritmética dos números.

Negação – essa operação representa o valor lógico oposto de uma proposição p, sendo denominado como “não p” ou ainda “~ p”, que indica a negação de p. Sendo assim, quando uma proposição é verdadeira, a não proposição será falsa.

Considere os exemplos abaixo:

p: meu filho estuda muito.

~p: meu filho não estuda muito

Se r = 1+1 = 2, então r é verdade, ou seja, r = V

Se ~r = 1+1=2, então r é falso, ou seja, r = F

Conjunção – dentro da lógica matemática, essa operação é utilizada apenas quando existe entre as proposições o conectivo “e”, simbolicamente representado por “^”. A operação será verdadeira apenas se todas as proposições também forem verdadeiras.

Na operação da conjunção é importante saber que:

V ^ V = V

F ^ F = F

V ^ F = F

F ^ V = F

Considerando p: 3 + 4 = 7 e q: 2 + 12 = 10, o valor lógico das proposições p ^ q é falso. A justificativa para tal é que a primeira proposição é verdadeira, mas a segunda é falsa.

Disjunçãonessa operação, o valor lógico será verdadeiro quando pelo menos uma das proposições for verdadeira. Consequentemente, o valor será falso somente quando as duas proposições forem falsas.

A representação da disjunção entre duas proposições é representada por “p v q”, que corresponde a “p ou q”. Dito isso, é importante saber:

V v V = V

F v F = F

V v F = V

F v V = V

Observe o exemplo abaixo:

p = Rio de janeiro é a capital do Brasil

q = 1+1 = 2

Logo, p v q = V

Condicional – o conectivo utilizado nessa operação é o “se… então …”, simbolicamente representado por –>, lendo-se “se p, então q”.  Em p –> q,o valor lógico será falso se p for verdade e q for falso. Em todas as outras situações o valor será verdadeiro.

Deste modo, podemos concluir que:

V –> V = V

F –> F = V

V –> F = F

F –> V = V

Considere a seguinte proposição: se um dia possui 20 horas, então um ano tem 365 dias? O valor lógico dessa operação é verdadeiro, pois a primeira proposição é falsa e a segunda verdadeira.

Bicondicional – a partir do operador “se e somente se”, simbolicamente representado por <–>. Em p <--> q, o valor lógico será verdade se ambas as proposições forem verdadeiras ou falsas. Nos demais casos o valor lógico sempre será falso.

Deste modo, podemos concluir que:

V <–> V = V

F <–> F = V

V <–> F = F

F <–> V = F

Considere as proposições: p = 2+2 = 4 e q = 1+1 = 3. Logo, p <–> q = F pois uma das proposições, neste caso a segunda, é falsa.

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