Limite
Limite: Conceito Básico
O limite de uma função descreve o comportamento dessa função quando a variável independente se aproxima de um determinado valor. Formalmente, dizemos que o limite de \( f(x) \) quando \( x \) tende a \( a \) é \( L \) (escrito como \( \lim_{x \to a} f(x) = L \)) se os valores de \( f(x) \) ficam arbitrariamente próximos de \( L \) à medida que \( x \) se aproxima de \( a \).
Propriedades dos Limites
Algumas propriedades fundamentais facilitam o cálculo de limites:
- Soma: \( \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \)
- Produto: \( \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) \)
- Quociente: \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \), se \( \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 \)
- Potência: \( \lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a} f(x)]^n \)
Limites Laterais
Os limites laterais analisam a aproximação pelo lado esquerdo (\( \lim_{x \to a^-} f(x) \)) e pelo lado direito (\( \lim_{x \to a^+} f(x) \)). Se ambos existem e são iguais, o limite \( \lim_{x \to a} f(x) \) existe e tem esse valor.
Limites Infinitos e no Infinito
Quando \( f(x) \) cresce ou decresce sem limite à medida que \( x \) se aproxima de \( a \), dizemos que o limite é infinito (\( +\infty \) ou \( -\infty \)). Já os limites no infinito (\( \lim_{x \to +\infty} f(x) \) ou \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \)) descrevem o comportamento da função quando \( x \) assume valores muito grandes (positivos ou negativos).
Indeterminações e Técnicas de Resolução
Alguns limites resultam em formas indeterminadas, como \( \frac{0}{0} \) ou \( \frac{\infty}{\infty} \). Técnicas como fatoração, racionalização, divisão de termos por potências de \( x \), ou uso da Regra de L'Hôpital são comuns para resolvê-las.
Continuidade e Limites
Uma função \( f(x) \) é contínua em \( x = a \) se:
- \( f(a) \) existe.
- \( \lim_{x \to a} f(x) \) existe.
- \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \).
Dicas para Concursos
Em provas de concursos, questões de limite frequentemente envolvem:
- Cálculo direto usando propriedades.
- Identificação de descontinuidades.
- Resolução de indeterminações.
- Análise gráfica de funções.