Resumo de Matemática - Juros Compostos

Os juros compostos é a tradução de juros sobre juros, sendo utilizados principalmente na área da Matemática Financeira. No cotidiano, podemos perceber essa aplicação em transações comerciais e financeiras como investimentos, empréstimos e financiamentos.

Também chamado de capitalização acumulada, nessa modalidade os juros do período são incorporados ao capital, constituindo um novo capital a cada período que será utilizado para o cálculo de novos juros. Não ficou claro? Observe o exemplo abaixo:

Se você investir R$ 300,00 em um banco, que paga juros compostos de 3% ao mês. Após seis meses, o montante será de R$ 358,21. Confira a evolução da aplicação:

Mês Montante no início do mês Juros ao mês Montante ao final do mês
300,00 3 % de 300,00 = 9,0 309,00
309,00 3% de 309,00 = 9,27 318,27
318,27 3% de 318,27 = 9,55 327,82
327,82 3% de 327,82 = 9,83 337,65
337,65 3% de 337,65 = 10,13 347,78
347,78 3% de 347,78 = 10,43 358,21

Conceitos básicos em Matemática Financeira

Para compreender como funciona a Matemática Financeira e, consequentemente, os juros compostos, é necessário conhecer alguns termos básicos:

  • Capital: é o valor do dinheiro no momento atual. Pode ser representado como C (capital); P (principal); VP (valor presente); PV (present value) ou C0 (capital inicial);
  • Juros: corresponde ao valor ganho ou cobrado pela remuneração de um capital;
  • Montante: é o valor do juro adicionado ao capital acumulado. A fórmula utilizada para esse cálculo é M = C + J
  • Taxas de juros: é o percentual do custo ou remuneração paga pelo uso do dinheiro, representada pela razão entre o juro e o capital (J/C);
    • a.a: juros ao ano
    • a.m: juros ao mês
  • Prazo ou período de capitalização: é o tempo pelo qual o capital é aplicado.

História do juro

O termo “juro” deriva da palavra latina jure (de direito) e acredita-se que tal prática, rendimento por empréstimo, é anterior à invenção da moeda (quinto milênio a.C). Nessa época, o dinheiro era representado por metais preciosos como a prata e produtos como o grão.

Os primeiros registros sobre os juros e impostos são datados em 2000 a.C, contudo as taxas não eram escritas em porcentagem, mas sim com símbolos. Na Suméria, por exemplo, a taxa de juros podia variar de 20% (metais preciosos) a 30% (produtos).

Na Grécia Antiga não havia limitação para as taxas de juros, que variavam entre 12% e 18% ao mês. Na Roma Antiga também não havia limitação, mas com a criação da Lei das Doze Tábuas (445 a.C.) foi estabelecido em 8 1/3% do capital e depois 0,5% a.m.

Na Idade Média havia distinção do empréstimo para produção e consumo, contudo, nesse último caso a Igreja Católica condenava a prática e considerava um pecado. Já na Renascença, a cobrança de juros oscilava entre a proibição e a necessidade de regulamentação.

Com a criação das instituições financeiras, os bancos, a cobrança de juros estabeleceu-se e adequou-se ao contexto das sociedades. No Brasil existe o Banco Central (Bacen), que entre as suas atribuições regula a taxa de juros no país.

Como calcular juros compostos

Como dito, no regime de juros compostos, os juros de cada período são acrescidos ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos posteriores. Para esse cálculo, utiliza-se a seguinte formula:

Onde,

M: montante
C: capital
i: taxa fixa
t: período de tempo

Observações:

  • Se a taxa i for ao ano, o tempo t deve ser convertido à unidade de ano;
  • Se a taxa i for ao mês, o tempo t deve ser convertido à unidade de mês;
  • Se a taxa i for ao dia, o tempo t deve ser convertido à unidade de dia.

Para o cálculo do montante mês a mês, as fórmulas utilizadas são:

1º mês: M = C (1 + i)

2º mês: M = C (1 + i) x (1 + i)

3º mês: M = C (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

4º mês: M = C (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Para os meses seguintes o princípio do cálculo é o mesmo. Caso deseje calcular apenas o juros, a fórmula utilizada é:

J = M – C

Aplicação

Para um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros compostos, durante um ano e com taxa de 3,5% ao mês. O cálculo para identificar o montante final é:

Para encontrar apenas o juros deve-se diminuir do montante o valor do capital:

J = M – C

J = 9.066,41 – 6000 = 3.066,41

Juros simples x juros compostos

Na modalidade de juros simples, o percentual de juros é adicionado apenas sobre o capital e os juros gerados a cada período não incidirão em novos. A fórmula utilizada para esse cálculo é:

J = P . i . t

Onde,

J: juros
C: capital
i: taxa de juros
t: período de tempo

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