Resumo de Matemática - Geometria

A Geometria, palavra de origem grega que significa “medir terra”, é uma vertente da matemática que utiliza formas, tamanhos, posições e características de determinados objetos como foco de estudo. Criada pelos antigos egípcios, é a base teórica das pesquisas sobre o espaço e suas identificações, como pontos, planos, retas e curvas.

Utilizando os conceitos das propriedades do espaço é que são identificadas as figuras geométricas e suas medidas de superfície: amplitude de ângulos, volume de sólidos, área e cumprimento de linhas. As formas geométricas mais conhecidas são: círculos, triângulos, polígonos, primas, pirâmides, cilindros e cones.

A geometria divide-se em algumas subáreas: euclidiana, plana, espacial e analítica.

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A geometria clássica ou euclidiana, criada pelo professor e matemático Euclides de Alexandria, baseava-se em cinco postulados. Nesse estudo as definições de pontos, linhas, planos, ângulos, círculos e geometria analítica foram definidos. 

  • Em dois pontos diferentes apenas um segmento de reta os une;
  • Uma linha reta pode ser prolongada em várias direções;
  • Pode-se construir um círculo com qualquer centro e raio;
  • Os ângulos retos são iguais;
  • Duas linhas paralelas nunca vão se encontrar.

O quinto postulado levantou críticas entre os matemáticos. Por volta do século XIX, Nikolai Lobachevsky e Bernhard Riemann sugeriram alternativas ao quinto estudo de Euclides.

O primeiro autor acreditava que em um ponto fora da reta passam, pelo menos, duas retas. Já o segundo, que em um ponto fora da reta não passa nenhuma outra paralela. Através dessas inquietações, surgiram outras geometrias (hiperbólica e esférica) totalmente diferentes dos conceitos de geometria espacial e plana.

Plana

A geometria plana é a vertente da matemática que estuda as formas sem volume, ou seja, as que apresentam apenas largura e comprimento. Retângulos e triângulos, por exemplo, são figuras da geometria plana. Para o uso dessa, é necessário calcular a área, perímetro e os lados das figuras de acordo com seus ângulos.

Área (S) – é toda a medida da superfície. Por isso, o tamanho de uma figura resultará em uma maior área.

Representada nas ilustrações pela letra S, importante lembrar que o cálculo da área de um determinado objeto é totalmente distinto.

Perímetro (P) – é o resultado da soma dos comprimentos, ou seja, a soma de todos os lados dos objetos geométricos, sejam regulares ou não.

Ângulos (Â) – junção de dois segmentos de reta, de acordo com um ponto comum, conhecido como vértice do ângulo. Eles são classificados em três: reto, agudo e obtuso.

Outras fórmulas utilizadas pela geometria plana são teorema de Pitágoras, lei dos senos, lei dos cossenos e relações métricas do triângulo retângulo.

Espacial

Diferentemente da geometria plana, na espacial é possível calcular o volume de cada figura, além da altura, largura e comprimento. Isso quer dizer que é o estudo da geometria em espaço tridimensional.

A geometria espacial utiliza alguns conceitos da  plana, como as definições de ponto, que são todas as retas e linhas originadas da junção de vários pontos e não podem ser medidos, somente localizados.

A reta, também utilizada nesse tipo de geometria, é usada para indicar o intervalo mais curto entre dois pontos determinados. A linha, que também é a repetição de pontos, possibilita a criação de curvas e nós. Já o plano é a estrutura que pode se prolongar em todas as direções.

A junção de linhas e retas permite a construção de figuras espaciais compostos por faces, arestas e vértices. Entenda melhor cada uma delas:

Faces: são superfícies planas que representam a quantidade de lados de determinado objeto. O cubo, por exemplo, é uma figura espacial que possui 6 faces quadrangulares.

Arestas: a linha formada no encontro de duas faces. Uma das figuras geométricas que contém maior quantidade de arestas é o chamado prisma pentagonal. Com as bases pentagonais, ele tem 15 arestas.

Vértices: são os pontos de encontro das arestas. Os dodecaedros, por exemplo, identificam-se com 20 vértices.

Os cálculos para a geometria espacial são baseados na área da superfície dos objetos, comprimento das curvas e volume.

Analítica

Por fim, mas não menos importante, temos a geometria analítica. É uma vertente da matemática em que a álgebra ganha destaque. Para isso, é importante conhecer a distância entre um ponto e outro da reta e sua localização dentro dela. A distância, portanto, é uma das bases mais relevantes dentro da geometria analítica.

Grande parte das definições algébricas é obtida através do estudo das distâncias. Além disso, é por meio da distância que são encontrados os conceitos sobre círculo e circunferência.

Sabe-se que na reta, plano e espaço é possível encontrar a distância entre os pontos. Essa tal distância é conhecida como segmento de reta. O pontos presentes no espaço são configurados por um grupo de três números, identificados como ternos ordenados. Cada terno significa um ponto no espaço.

Se uma reta é feita de pontos e apresenta números reais, acredita-se que essa reta possui uma dimensão, sendo o número real reconhecido como coordenada do ponto.

Agora, caso o ponto seja parte do plano, o espaço onde está localizado vai possuir duas dimensões e, consequentemente, duas coordenadas. Seguindo essa lógica, observa-se que a quantidade de coordenadas que um ponto possui é proporcional a quantidade de dimensões de onde está localizada.

Qualquer objeto ou forma geométrica que esteja presente no espaço pode ser calculado de acordo com fórmulas algébricas. Isso que liga a geometria à álgebra, personificando aquilo que chamamos de geometria analítica.

Além de todas os estudos e características da geometria plana e espacial de acordo com os cálculos algébricos, as definições de matrizes, vetores, entre outros, são discutidos por essa subárea da geometria.

Geometria no Enem

A geometria garante o segundo lugar no ranking de assuntos que caem na prova do Exame Nacional do Ensino Médio – Enem, especialmente seus conceitos básicos, divisões e fórmulas. Por isso, veja algumas dicas para a hora da prova.

Plana: lembrar dos conceitos básicos de geometria plana e as definições de figuras geométricas: pontos, retas e planos. Além disso, recordar as características específicas de cada forma geométrica plana e as fórmulas para o cálculo da área, perímetro, os lados das figuras de acordo com os ângulos, teorema de Pitágoras, lei dos senos, lei dos cossenos.

Espacial: o foco aqui são os cálculos do volume, altura e comprimento de cada figura geométrica espacial, recordando que todos eles são compostos por faces, arestas e vértices.

Analítica: como envolve os conceitos de geometria plana, espacial e álgebra, é importante saber as definições de distância entre retas, entre reta e plano e entre dois planos. Entender também as equações de círculo e circunferência.

Resumindo, os assuntos de geometria mais exigidos pelo Enem são:

  • características das figuras planas, espaciais e analíticas
  • comprimentos, áreas e volumes
  • Trigonometria

 

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