Resumo de Matemática - Função sobrejetora

A função sobrejetora é um tipo de função matemática. Ela acontece quando a relação dos conjuntos numéricos de imagem e contradomínio são iguais. Ou seja, não sobram elementos.

Em matemática, entende-se que quando há dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles – onde um elemento pode ser ligado a apenas um outro elemento do outro conjunto -, trata-se de uma das funções matemáticas.

Veja no vídeo um resumo sobre todos os conceitos de função injetora, função sobrejetora e função bijetora:

No dia a dia é possível encontrar as funções em tabelas de preços de uma loja ou no cardápio de um restaurante, por exemplo. Nesse casos, existem produtos ligados a um preço.

Observe os exemplos abaixo:

Se tivermos dois conjuntos onde o B tem elementos sobrando na ligação com A, não existe função.

Quando o conjunto A tem um elemento ligado a dois elementos do conjunto B, também não existe função.

Já quando cada elemento do conjunto A está ligado a um elemento do conjunto B, ainda que sobrem outros elementos, há uma função.

Em resumo, para que uma função exista é necessário que existam dois conjuntos, onde os elementos de A nunca sobrem ou façam duas relações com B.

Conceitos básicos

O primeiro conjunto será o domínio, geralmente nomeado por A. Contradomínio é como é chamando o conjunto seguinte, normalmente chamado por B.

Outro conceito básico para entender função é imagem, que significa contradomínio: os elementos que estão ligados em A e B.

A função sobrejetora

Uma função é classificada de sobrejetora quando contradomínio e imagem são iguais. Dentro da linguagem matemática lê-se uma função sobrejetora assim:

Ou seja, para um Y, onde Y pertence ao conjunto B, então há x pertencente ao conjunto A tal que: f (x) = Y. Quando o caso não for como o de cima, será expressa nos termos matemáticos:

Ou seja, existe Y, e Y pertence ao conjunto B, logo não há x pertencente ao conjunto A tal que: f (x) = y. Isso acontece quando algum elemento de B não é imagem de outro elemento em A.

Exemplo

Tendo os conjuntos A e B e sabendo como se estabelece uma função, além dos conceitos de imagem, domínio e contradomínio, veja abaixo como montar uma função sobrejetora aplicando todos os conceitos explícitos aqui:

Observe o diagrama, os conjuntos e as ligações:

  • Domínio: A = {5;9;12;3;2;4;10}
  • Imagem: B = {24;10;18;20;36;6}
  • Contradomínio: {24;10;18;20;36;6}

Sabe-se que é uma função sobrejetora porque a imagem está exatamente igual ao contradomínio.

Fixando e aprendendo mais

Imagine que o conjunto A é feito de crianças, e o conjunto B é feito de mulheres. A relação estabelecida é que as crianças são filhos e filhas. Sendo assim as variações são:

  • Havendo no mínimo uma criança no conjunto A, que não seja filha de alguém do conjunto B, não existe função;
  • Se pelo menos uma criança do conjunto A, que seja filha de mais de uma mulher do conjunto B, novamente não há função nesse caso;
  • Se no conjunto A não tiver nenhum par de irmãos, ainda que sobre uma mãe sem seu respectivo filho em B, há uma função injetora.
  • Se, tão somente se, todas as mulheres de B tem um filho em A, sendo que alguma tem duas crianças ou mais (desde que não sobre nenhuma), há uma função sobrejetora;
  •  E se existir uma correspondência perfeita do conjunto A para o conjunto B, existe uma função bijetora.

Resumindo:

  • Função injetora permite que existam sobras de elementos na imagem;
  • Função sobrejetora não permite sobras na imagem. O contradomínio deve ser igual a imagem;
  • Função bijetora corresponde a relação dos elementos do conjunto A exclusiva com o conjunto B: cada elemento em A corresponde a um elemento em B.
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