Resumo de Matemática - Função linear

A função linear é expressa de forma genérica como f(x) = a.x, sendo “a” um número real e diferente de zero. Esse é um tipo especial de função de primeiro grau, a qual é definida pela lei de formação f(x) = a.x + b.

Perceba que nessa função não há valor para o coeficiente b. Neste caso, toda função do primeiro grau na condição b = 0 reflete em uma função linear. Confira alguns exemplos abaixo:

  • f(x) = 2x
  • f(x) = – x
  • f(x) = 3x/2

O que é uma função?

Na matemática, uma função indica uma relação existente entre um conjunto A e um conjunto B, cuja expressão genérica é f: A –> B (lê-se f de A em B).

Nessa relação, “f” é o nome da função, “A” o domínio, “B” o contradomínio e y = f(x) é a lei de correspondência dos elementos x fazem parte de A e dos elementos y que fazem parte de B.

Define-se como domínio (D) de uma função o conjunto de partida ou simplesmente “de onde partem as flechas”. A imagem (Im) corresponde aos elementos atingidos pelas flechas de relacionamento. Já o contradomínio (Cd) é o conjunto de chegada, isto é, aqueles elementos que as flechas podem acertar. 

Função de primeiro grau

Na função de primeiro grau, também conhecida como função polinomial do primeiro grau, o x é denominado de variável independente e f(x) ou y é denominado de variável dependente.

A função de primeiro grau relaciona os elementos de dois conjuntos de forma linear. Para exemplificar esse conceito, observe abaixo alguns pares de (x, y) obtidos a partir da função y = 2x:

  • x = 1; y = 2.1 = 2
  • x = 2; y = 2.2 = 4
  • x = 3; y = 2.3 = 6

Deste modo, podemos afirmar que os elementos do domínio da função são: 1, 2 e 3. E os elementos do contradomínio são: 2, 4 e 6.

Características da função linear

Na expressão genérica da função linear, f(x) = a.x, o valor de “a” é chamado de coeficiente angular. É ele que define a direção do gráfico da função nas seguintes condições:

  • Se a <0, o gráfico da função é decrescente
  • Se a > 0, o gráfico da função é crescente

Caso a = 0, temos um caso de função identidade, consequentemente, ela será expressa genericamente como f (x) = x, pois qualquer número multiplicado por 1 é igual a ele mesmo.

Nesse tipo de função todos os elementos do domínio têm como imagem um elemento com um valor igual ao do elemento no domínio, uma vez que y sempre é igual a x.

Gráfico da função

O gráfico da função linear é representado por uma reta que passa pela origem do plano, ou seja, nos pontos (0,0). E, como já dito, o coeficiente angular determina a declividade da reta.

Para saber se a função linear é crescente ou decrescente, basta observar o sinal do coeficiente. Se a for positivo, a função é crescente e se for a for negativo, então é decrescente.

Observe abaixo duas funções distintas:

Em f(x) = x, o coeficiente angular é igual a -1, já em g(x) = x, o coeficiente angular é igual 1. Nesse caso, a primeira função linear é decrescente e a segunda crescente. 

Aplicação

De acordo com os fundamentos da Geometria, criados por Euclides de Alexandria, “na existência de dois pontos distintos do espaço, existe apenas uma reta que os contém”.

Apropriando-se desse postulado para construir a reta do gráfico de uma função linear, basta encontrar apenas a localização de alguns pontos, lembrando que obrigatoriamente a reta passa pela origem (0,0). Veja abaixo as etapas:

  1. Escolher dois valores para x;
  2. Substituir esses valores na função;
  3. Encontrar os valores de y correspondentes.

O valor escolhido para x e o correspondente para y gera um par ordenado que pode ser sinalizado no plano cartesiano.

Dada a função f(x) = 2x, vamos traçar o seu gráfico:

f(0) = 2.0 = 0

f(-1) = 2.1 = -2

f(-2) = 2.4 = 4

Os pares ordenados foram (0,0), (1,2) e (2,4). Confira abaixo o gráfico:

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