Resumo de Matemática - Função composta

A função composta é aquela que estabelece uma relação entre os elementos de domínio de uma função com os elementos do contradomínio da outra.

As funções são classificadas a partir da sua aplicação dentro das operações matemáticas. Determina-se função (f) a correlação que existe entre dois grupos diferentes chamados de domínio (A) e contradomínio (B), associando-se os elementos entre os dois grupos.

Eles são representados da seguinte forma:

f: A <> B (lê-se f de A em B)

Nesse caso, A é denominado domínio da função, enquanto B é o contradomínio. Para cada valor de x que pertence ao domínio A, existe um valor de y ou f(x) associado a ele.

Vale lembrar que f e f(x) são diferentes. O f é referente a simbologia da função, e o f(x) é o valor que essa função tem em um ponto x no domínio.

Definição da função composta

A função composta é aquela onde aparecem duas funções f e g, e o domínio da função g é igual ao contradomínio da função f. Quando isso acontece, é possível criar uma função gof, que é chamada de função composta.

Ela relaciona os elementos do domínio da função f com os elementos do contradomínio da função g.

Vejas nas funções:

A função composta representada na imagem é a função h(x) = g(f(x)). Ela também pode ser representada por gof(x).

Para usar a função “h”, aplica-se a função “f” no ponto “x” para descobrir qual é o valor do contradomínio e depois aplica-se a função “g” nesse valor encontrado.

Ao fazer isso, tem-se um ponto do contradomínio “g”, sendo que os pontos do seu domínio também são pertencentes ao contradomínio “f”. Dessa forma, a função “h” fica definida, com seu domínio e contradomínio, da seguinte forma:

A função “h” relaciona os elementos do domínio da função “f” com o elemento do contradomínio da função “g”, por ser igual a função composta de “g” com “f”.

Observe a imagem a seguir:

No diagrama é possível observar as funções “f”, “g” e “h”. A função “f” relaciona os elementos do conjunto A com os elementos do conjunto B. Já a função “g”, relaciona os elementos do conjunto B com os elementos do conjunto C.

O uso da função composta gof, relaciona os elementos do conjunto A diretamente com os do conjunto C.

Veja outro exemplo de diagrama, dadas as mesmas funções citadas anteriormente:

Exemplos

Veja alguns exemplos de exercícios que envolvem a função composta:

Exemplo 1:

Seja f(x) = x2+ 2x+ 1 e g(x)= -2x – 1, determine a lei que define f[g(x)] e g[f(x)].

Resolução:

Antes de qualquer coisa, transforma-se a função em função composta. Na função f(x), substitui-se o x pela função g(x):

f(x) = x² + 2x + 1
f[g(x)] = [g(x)]² + 2.[g(x)] + 1
f[g(x)] = [– 2x – 1]² + 2.[– 2x – 1] + 1
f[g(x)] = 4x² + 4x + 1 – 4x – 2 + 1
f[g(x)] = 4x²

Agora se realiza o processo ao contrário, para determinar g[f(x)]. Onde houver o x na função g(x), substitui-se por f(x):

g(x) = – 2x – 1
g[f(x)] = – 2.[f(x)] – 1
g[f(x)] = – 2.[x² + 2x + 1] – 1
g[f(x)] = – 2x² – 4x – 2 – 1
g[f(x)] = – 2x² – 4x – 3

Portanto, a função composta é f[g(x)] = 4x2 e g[f(x)] = -2x2 – 4x – 3.

 Exemplo 2:

Se f(x) = x² + 2x + 1 e g(x) = – 2x – 1, determine a lei que define f[g(x)] e g[f(x)].

Primeiramente, realiza-se a composição das funções f[g(x)], e então f(x) é  substituído na função g(x):
 
f(x) = x² + 2x + 1
f[g(x)] = [g(x)]² + 2.[g(x)] + 1
f[g(x)] = [– 2x – 1]² + 2.[– 2x – 1] + 1
f[g(x)] = 4x² + 4x + 1 – 4x – 2 + 1
f[g(x)] = 4x²
 
Nessa etapa é feito o processo contrário. Para calcular o g[f(x)], onde houver x na função g(x), substitui-se por f(x):
 
g(x) = – 2x – 1
g[f(x)] = – 2.[f(x)] – 1
g[f(x)] = – 2.[x² + 2x + 1] – 1
g[f(x)] = – 2x² – 4x – 2 – 1
g[f(x)] = – 2x² – 4x – 3
 
A resposta é: f[g(x)] = 4x² e g[f(x)] = – 2x² – 4x – 3.
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