Resumo de Matemática - Função bijetora

A função bijetora, conhecida também como função bijetiva, é um modelo que faz associações de elementos correspondentes entre duas funções diferentes.

Como característica principal, elas duas possuem a mesma quantidade de elementos, sendo alguns deles semelhantes entre si. A função bijetora recebe esse nome por ter características de função injetora e função sobrejetora, simultaneamente.

Dada uma função y= x³, com X pertencente a um número real qualquer. Esta expressão é uma função bijetora porque, independente do valor de x, não existem dois elementos diferentes na imagem associados a ele.

Outro ponto a ser considerado é que o domínio é igual ao contradomínio.

A segunda expressão é y= x, com x pertencente ao grupo dos números reais.

Nesta função, um número está diretamente relacionado ao outro. Se x=1 e y=1, considera-se que elementos diferentes no domínio possuem as imagens também divergentes no contradomínio.

Neste caso, o contradomínio é igual a imagem, sendo uma função bijetora.

Função bijetora: conceito e aplicações

Conhecida também como função bijetiva, a função bijetora possui características de dois outros tipos de funções. São elas: injetora e sobrejetora.

Uma função só pode ser considerada bijetora quando possuir características peculiares às injetivas e sobrejetivas ao mesmo tempo.

A seguir, exemplos e aplicações da função bijetora

  •  F : R <> R definida pela lei f(x) = 4x + 1, é correto afirmar que esta é uma função bijetora, porque:

Sendo x1 e x2 pertencentes a R, então diz-se que:

4(x1) + 1 diferente de 4(x2) – 1 <> f (X1) sendo diferente de f(X2)

Conclui-se, portanto, que a função “ f ” é injetiva.

  • Sendo Y pertencente ao conjunto R, e X corresponde também ao conjunto R, onde f(x)= y.  A partir daí, entende-se que :

5x + 1 = y <>  X = y-1/5

Importante! Para qualquer valor de Y na igualdade acima, considerando Y um número real qualquer, também irá existir um valor de X que atenda a condição de função sobrejetora.

Portanto, a função f (x)= 4x=1 deve ser considerada função bijetora.

Classificação de funções

As funções podem ser classificadas de acordo com sua aplicabilidade dentro das operações matemáticas.

Em termos gerais, uma função (f) é uma correlação existente entre dois grupos distintos denominados domínio (A) e contradomínio (B), associando cada elemento entre os dois grupos. Em linguagem matemática escreve-se

f: A <> B (lê-se f de A em B).

O conjunto A recebe o nome de domínio da função, enquanto o conjunto é chamado de contradomínio.

Importante: apesar de parecer insignificante, vale sinalizar que existe diferença entre f e o f(x).  O "f" é a simbologia da própria função. O  "f(x)" é o valor da função em um ponto X no domínio.

Portanto, para cada valor de X pertencente ao domínio A existe apenas um valor de Y ou f(x) associado.

Funções injetora e sobrejetora

  • A função injetora é também chamada de injetiva e biunívoca. Esta função ocorre quando os elementos que compõem o domínio (A) possuem imagens diferentes no contradomínio (B).

Através de exemplos é possível fazer essa relação, por meio da função de segundo grau.

Dada a função f: R <> R definida como f(x) = x2 + 1, pode-se avaliar que não se trata de injetora, pois os dois diferentes em R resultaram em um mesmo valor de X.

Se x = 2 <> f (2) = (2)2 + 1 = 4+1 =5

Se x = -2 <> f (-2) = (-2)2 + 1= 4 + 1 = 5

Conclusão: se dois valores diferentes de X resultam em um mesmo número para Y não é uma função injetora.

  •  A função sobrejetora, também denominada sobrejetiva ou sobrejeção tem uma relação de aplicabilidade inversa à injetora.

Neste caso, toda função em que dois valores diferentes de X resultar em um mesmo valor para Y é considerada uma sobrejetora.

São considerados os conjuntos A= { a, b, c, d} e B= {x, y, z}. A aplicação é sobrejetora de A em B.

A associação é feita da seguinte maneira:

f= { (a, x); (b,y); (c,y); (d,z)}

Dada a função f: Z <> Z  representada pela expressão f(x) = x+1.  Nesta aplicação, o conjunto imagem é igual ao seu contradomínio, portanto, Im (f)=Z. 

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