O fatorial de um número natural n, representado por n!, é calculado a partir da multiplicação de todos os seus antecessores até o número 1. Essa relação é expressa genericamente por: n! = n . (n – 1). (n – 2). (n – 3) ... 2, 1.
De acordo com essa definição, o fatorial de 3 corresponde a 3! (lê-se 3 fatorial). Para encontrar o seu produto, basta fazer o seguinte cálculo:
3! = 3 . 2 . 1 = 6
Contudo, 0! = 1 e 1! = 1. Entenda o motivo no vídeo abaixo:
Veja outros exemplos de números fatoriais:
- 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
- 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
- 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
- 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5.040
- 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320
- 9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 362.880
- 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800
- 20! = 20 . 19 . 18 … 1 = 2.432.902.008.176.640.000
Quanto maior o valor de n, mais trabalhoso será o cálculo para encontrar n!. Deste modo, podemos realizar a simplificação de alguns fatoriais. Veja abaixo dois exemplos:
- 10! = 10 . 9 . 8 . 7!
9!/ 6! = 9 . 8 . 7.6!/6!= 9. 8. 7 = 504
Fatorial e análise combinatória
Até aqui, você já deve ter percebido que os números fatoriais estão relacionados com a análise combinatória, área da matemática que estuda os métodos da contagem, já que ambos envolvem a multiplicação de números consecutivos. Existem três tipos de análises combinatórias, as quais envolvem números fatoriais. Confira abaixo:
- Arranjo: cada grupo se distingue pela ordem dos elementos ou pela natureza dos mesmos. Para calcular o arranjo de n elementos, utiliza-se a seguinte fórmula:
A n,p = n!/ (n – p)!
Onde,
A = arranjo
n = número total de elementos
p = número de elementos de cada grupo
- Permutação: esse conceito está relacionado com a troca de objetos, sendo possível entender de quantas maneiras pode-se ordenar n objetos em n posições. Esse é um tipo especial de arranjo, sendo expresso pela seguinte fórmula:
Pn = n!
- Combinações: representam subconjuntos, cuja a ordem dos elementos não é tão importante, sendo caracterizadas pela natureza. Uma combinação simples é calculada a partir da fórmula:
C n,p = n!/ p! (n – p)!
Onde,
C: combinação
n: número total de elementos
p: número de elementos de cada grupo
Cálculos com fatoriais
Operações básicas
As quatro operações matemáticas básicas podem ser aplicadas aos números fatoriais. Saiba como solucionar cada uma delas:
- Adição e subtração:
para resolver essas duas operações é necessário resolver os fatoriais para depois somar ou subtrair as parcelas. Exemplo:
a) 4! + 3!
(4. 3. 2. 1) + (3. 2. 1)
24 + 6 = 30
b) 5! – 3!
(5 . 4 . 3 . 2 . 1) – (3 . 2 . 1)
120 – 6 = 114
- Multiplicação:
assim como nas operações anteriores, o primeiro passo é resolver os fatoriais para depois multiplicar os resultados. Exemplo:
a) 2!. 4!
(2.1) . (4. 3. 2. 1)
2. 24 = 48
b) 0! . 5!
1 . (5. 4 . 3 . 2 . 1)
1 . 120 = 120
- Divisão:
nessa operação, se necessário, é possível realizar a simplificação dos fatoriais. Exemplo:
a) 16!/ 15!
16. 15!/ 15!/ =16
b) 8!/ 4!
8. 7. 6 . 5 . 4!/ 4! = 1.680
Equações
Também é possível encontrar equações matemáticas que envolvam fatoriais. Deste modo, para resolvê-las é necessário também resolver os fatoriais. Exemplo:
a) x – 4 = 2!
x – 4 = (2.1)
x – 4 = 2
x = 2 + 4
x = 6
b) (2x – 3)! = 120
(2x – 3)! = 5!
2x – 3 = 5
2x = 8
x = 4