A fatoração tem o objetivo, assim como nos produtos notáveis, de simplificar as equações e expressões algébricas. Ela é a transformação da soma e/ou subtração de vários termos em um produto de diversos fatores. Não entendeu? Vamos explicar detalhadamente.
Uma forma simples de fazer a fatoração é dividir um número pelos menores números primos possíveis (2, 3, 5,7, 11,...). A divisão deve se repetir até que seja impossível seguir com a divisão.
Vejam os exemplos:
| Número | Nº Primo |
| 250 | 2 |
| 125 | 5 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Portanto, 250 fatorado é: 2. 5. 5. 5
| Número | Nº Primo |
| 882 | 2 |
| 441 | 3 |
| 147 | 3 |
| 49 | 7 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Portanto, 882 fatorado é: 2. 3. 3. 7. 7
Tipos de Fatoração
Fator Comum em evidência
A fatoração comum é realizada quando se coloca os fatores comuns em evidência. Vamos aos exemplos:
5x + 5y
Neste caso, o número 5 é comum nos dois termos e, por isso, é possível colocá-lo em evidência. Dessa forma:
5x + 5y = 5 (x + y)
Colocamos o 5 em evidência e multiplicamos pela expressão quociente da divisão da sentença original.
Outros exemplos:
7a + 7b = 7 (a + b)
15x + 5y = 5 (3x + y)
14m + 28n = 7 (2m + 4n)
Viu como é simples?!
Agrupamento de termos semelhantes
No caso da fatoração por agrupamento não é possível encontrar um fator comum de todos os termos, porém temos elementos que são comuns a alguns.
Exemplo:
4x + 6x + 4y + 6y
Percebe-se que x é comum nos dois primeiros termos, assim como o y é comum aos dois últimos. Portanto, podemos colocar em evidência da seguinte forma:
4x + 6x + 4y + 6y = x (4 + 6) + y (4 + 6)
Perceba que ainda temos um fator em comum (4 + 6), portanto ainda podemos colocá-lo em evidência também:
x (4 + 6) + y (4 + 6) = (4 + 6 ) + (x + y)
Então:
4x + 6x + 4y + 6y = (4 + 6 ) + (x + y)
Outros exemplos
8x + 9x + 8y + 9y = x (8 + 9) + y (8 + 9) = (8 + 9) (x + y)
5a + 5b + 2a + 2b = 5 (a + b) + 2 (a + b) = (a + b) + (2 + 5)
Diferença de dois quadrados
Neste caso, a fatoração baseia-se em juntar todos os termos que forem iguais para, se possível, colocá-los em evidência.
Vamos analisar esse exemplo:
25y² – 9y²
Visto que a2 – b2 = (a + b)(a – b), podemos realizar a fatoração assim:
25y² – 9y² = (5y)² – (3y)² = (5y + 3y) (5y – 3y)
A fatoração foi realizada se encontrando o valor de a e b, que são localizados através da raiz quadrada do primeiro e do segundo termo e então os substituindo em (a + b)(a – b).
Logo:
25y² – 9z² = (5y + 3z) (5y – 3z)
Trinômio Quadrado Perfeito
Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinômio quadrado perfeito. No entanto, temos os membros em ordem inversa. Então o quadrado da soma de dois termos é a forma fatorada de um trinômio quadrado perfeito.
Exemplo:
X² + 14x + 49
Se o pudermos escrever como a2 + 2ab + b2 estaremos diante de um trinômio quadrado perfeito, que fatorado é igual a (a + b)2.
Obtemos o valor de “a” extraindo a raiz quadrada de “x2” no primeiro termo e o valor de “b” extraindo a raiz quadrada de 49 no terceiro termo, portanto a = x e b = 7.
Ao substituirmos “a” por “x” e “b” por “7″ nos termos do trinômio a2 + 2ab + b2 devemos chegar a uma variação do trinômio original:
x² + 2 . x . 7 + 7²
Realizando a substituição de “a” e “b”, vamos então analisar a2 + 2ab + b2 termo a termo para verificar se o polinômio obtido é igual ao polinômio original.
Quando substituímos a por “x” em a2 chegamos ao x2 original.
Ao substituirmos a por x e b por 7 em 2ab obtivemos 2 . x . 7, equivalente ao 14x original.
E finalmente substituindo b por 7 em b2 chegamos a 72, equivalente ao 49 do terceiro termo do polinômio original.
Como foi possível escrever x2 + 14x + 49 na forma a2 + 2ab + b2, então estamos mesmo diante de um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado assim:
X² + 2 . x . 7 + 7² = (x + 7)²
Portanto:
X² + 14x + 49 = (x + 7 )²