Resumo de Matemática - Esfera

A esfera é uma figura da geometria espacial, de superfície curva, que faz parte do grupo dos corpos redondos, também chamados de sólidos de revolução – obtidos através da rotação completa de uma figura geométrica plana em torno de seu diâmetro, no caso da esfera, um semicírculo.

Tal figura é formada por um centro (O) e raio (r), através de um conjunto de pontos no espaço cuja distância com o centro é menor ou igual ao raio. A esfera ainda é um objeto tridimensional simétrico, ou seja, ao ser divido em duas partes os dois lados exatamente iguais.

Área e volume 

Para o cálculo do volume é utilizado a seguinte fórmula:

Ve = 4.π.r²/3

Onde,

Ve: volume da esfera;
π: (pi) 3,14;
r: raio da esfera;

Já para o cálculo da área é utilizada a seguinte fórmula:

A = 4.π.r²

Aplicação

Dado um corpo esférico que possui raio 5 metros, vamos calcular o seu volume e a sua área:

Ve = 4.π.r²/3

Ve = (4. 3,14. 5³) /3

Ve = (12,56. 125) /3

Ve = 1570/ 3

Ve = 523,33 m³

 

A = 4.π.r²

A = 4. 3,14. 5²

A = 12,56. 25

A = 314 m²

Elementos da esfera

Superfície esférica: é a parte da esfera que corresponde ao conjunto de pontos no espaço no qual a distância do centro é equivalente ao raio, sendo o resultado da rotação do semicírculo.

Polos: correspondem aos dois pontos extremos do diâmetro da figura, ou seja, os pontos de encontro entre a superfície esférica e o eixo de rotação;

Paralelo: é a circunferência formada pela intersecção de qualquer plano perpendicular ao eixo de rotação e a superfície esférica. O paralelo com o maior comprimento é chamado de equador;

Meridiano: corresponde a circunferência gerada pela intersecção de qualquer plano que contém o eixo de rotação com a superfície esférica;  

 

Secção na esfera

Equivale a interseção entre a esfera e um plano, por meio de um corte. Quando esse plano, chamado de plano secante, passa pelo centro da figura é formado um círculo com o mesmo raio, esse círculo é chamado de círculo máximo.

O cálculo da secção corresponde a seguinte relação:

s2 = r2 – d2

Onde,

S: raio do círculo;
d:distância entre o plano da secção e o centro da esfera;
r: raio da esfera.

Fuso esférico

O fuso pode ser comparado a um “gomo da tangerina”, que é obtido a partir de uma rotação de um semicírculo no eixo da esfera entre os ângulos 0 e 2π. A intersecção do fuso com o equador  gera um arco de circunferência chamado de arco equatorial.

A área do fuso é calculada a partir da seguinte fórmula:

Afe = π.r2.α/90 (ângulo em graus) ou Afe = 2.r2.α (ângulo em radianos)

Onde,

Afe: área do fuso esférico;
π: pi (3,14);
r: raio da esfera;
α: ângulo do fuso.

Um fuso esférico é equivalente a um fuso horário; o fuso horário nada mais é que a divisão de figura em 24 partes. Sendo assim, o fuso esférico é formado por uma semicircunferência que girou apenas 15°.

Cunha esférica

A cunha esférica é obtida por meio do giro do semicírculo de um ângulo (0° < α ≤ 360°), em torno do seu eixo.

O volume da cunha esférica é calculada a partir da seguinte fórmula:

Vc = β.π.r3/270 (ângulo em graus) ou Vc = 2/3.r³.α (ângulo em radianos)

Onde,

Vc: volume da cunha;
π: pi (3,14);
r: raio da esfera;
α: ângulo da cunha esférica.

Calota esférica

A calota corresponde a uma parte da figura que foi cortada por um plano perpendicular ao eixo de rotação. Metaforicamente, a calota pode ser como a “tampa de uma laranja”.

A área da calota é calculada a partir da seguinte fórmula:

Ace = 2 π. R. h

Onde,

Ace: é a área da calota esférica;
π: pi (3,14);
r: raio da esfera;
h: é a altura da calota esférica.

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