Na matemática, uma equação do tipo quadrática ou equação de segundo grau é uma equação polinomial de grau dois. A forma geral é dada por: ax² + bx + c = 0, sendo x uma variável, e a, b, c constantes.
As letras a, b e c são chamadas de coeficiente quadrático, coeficiente linear e coeficiente constante ou termo livre, respectivamente. O coeficiente quadrático deve ser diferente de zero. Caso essa regra não seja obedecida a equação torna-se linear.
Exemplo:
- 3x² + 4x + 1 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 3, b = 4, c = 1.
- x² – x – 1 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 1, b = –1, c = –1 .
- 9x² – 5x = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 9, b = –5, c = 0.
- 5x² – 4 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 5, b = 0, c = –4.
O que é equação linear?
Equação do tipo linear é toda equação da seguinte forma:
Veja alguns exemplos de equações lineares:
3x – 2y + 4z = 7
-2x + 4z = 3t – y + 4
X + y – 3z – √7 t = 0 (homogênia)
As equações a seguir não são lineares:
xy – 3z + t = 8
x2- 4y = 3t – 4
√x – 2y + z = 7
O que é quadrático?
O termo quadrático originou-se do latim, onde significa “quadratus”. Equações quadráticas podem ser solucionadas utilizando a fatoração, completamento de quadrados, gráficos ou aplicação do método de Newton
As equações de segundo grau são métodos simples para calcular trajetórias de projéteis em movimento.
Raízes ou soluções de uma equação de segundo grau
Cada tipo de equação possui um método. Primeiro vamos resolver uma equação de segundo grau através da fórmula de Bháskara.
Indicar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir sua raiz, ou seja, determinar os valores que satisfazem a equação. As raízes da equação do segundo grau x² – 10x + 24 = 0, por exemplo, são x = 4 ou x = 6, pois:
Substituindo x = 4 na equação, temos:
x² – 10x + 24 = 0
4² – 10 * 4 + 24 = 0
16 – 40 + 24 = 0
–24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)
Substituindo x = 6 na equação, temos:
x² – 10x + 24 = 0
6² – 10 * 6 + 24 = 0
36 – 60 + 24 = 0
– 24 + 24 = 0
0 = 0 (verdadeiro)
Através desse modelo podemos observar que as duas raízes satisfazem a equação. O método de Bháskara comprovou que os valores encontrados fazem da equação acima uma sentença verdadeira.
Fórmula de Bháskara
Através da fórmula de Bháskara vamos determinar os valores da equação de segundo grau a seguir: x² – 2x – 3 = 0.
Relembrando, a equação de segundo grau tem a seguinte lei de formação: ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são os coeficientes. Então os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.
Assim, iremos utilizar somente os coeficientes. Veja:
Primeiro passo: Determinar o discriminante de delta
Os resultados encontrados são x’ = 3 e x” = –1.
Exemplo II: Determinar a solução da equação x² + 8x + 16 = 0. Os coeficientes são a = 1, b = 8 e c = 16.
Nesse exemplo observamos que o valor da discriminante é igual a zero. Portanto, nesses casos, a equação possui apenas uma solução. Em resoluções em que o discriminante é menor que zero, a equação não terá raízes reais.