Resumo de Matemática - Dízima Periódica

Chama-se dízima periódica os números decimais quaisquer em que um ou mais dos seus algarismos se repetem por diversas vezes, infinitamente, em uma mesma ordem. Ao algarismo que segue uma mesma ordem de repetição é dado o nome de período.

Os números decimais que fazem parte do sistema de periódicos integram o grupo chamado na matemática de números racionais, representados pela letra “Q”, uma vez que podem ser também representados por meio de frações.

Um exemplo é o número decimal 2,33333… que pode ser escrito transformando-o em fração como mostra a imagem a seguir:

Importante! Um número decimal infinito qualquer, porém sem a presença dos algarismos que se repetem, ou seja, os períodos, não será considerado uma dízima periódica. Esse número enquadra-se na categoria dos irracionais. 

Dízimas periódicas simples e compostas

A dízima periódica é classificada como simples quando, em sua representação, existe a parte inteira do número e logo depois da vírgula há apenas algarismos repetidos.

A partir dos exemplos é possível observar períodos simples da dízima periódica:

–> 0,34343434… a parte inteira é equivalente a 0 e período igual ao número 34

–> 1,222222… a parte inteira é igual a 1 e período equivalente a 2

–> 234,193193193… a parte inteira corresponde ao número 234 e período é 193

Em relação às dízimas periódicas compostas, elas possuem parte inteira e após a vírgula algarismos que podem ou não se repetir além do período.

Exemplos de dízimas compostas:

–> 3,125555…   a parte inteira é o numeral 3, o 12 é o número que não corresponde a uma dízima e o período é equivalente a 5.

–> 1,7863333… a parte inteira é o numeral 1, 786 é o número que não corresponde a uma dízima e o período igual a 3.

–> 11,2350505050…  a parte inteira é representada pelo número 11, parte não periódica igual a 23 e período equivale a 50.

No vídeo exibido na sequência há uma demonstração de como transformar dízimas em fração geratriz.

Dízima periódica: representações numéricas

As dízimas podem ser escritas em forma de números decimais ou fração geratriz. Sempre que estiver escrita na forma decimal, deve-se utilizar os três pontinhos no final para indicar que os algarismos se repetem sem fim.

Também é possível fazer a representação desse tipo de número colocando um traço horizontal apenas em cima dos períodos.

Fração geratriz

Como visto anteriormente, as dízimas periódicas são números racionais. Para identificar sua respectiva fração geratriz basta aplicar um método prático.

Se o número relacionado for uma dízima periódica simples, coloca-se no numerador o número formado pelos algarismos inteiros e acrescido do período, com exceção apenas dos algarismos inteiros, sem a vírgula. Já no denominador coloca-se o número inteiro nove (9).

A quantidade de números noves depende diretamente da quantidade de algarismos que formam o período da dízima.

Exemplo: na dízima 3,1717… o período é composto por 2 algarismos, sendo este equivalente ao número 17, assim, o denominador será igual a 99.

Nos casos da dízima composta, o numerador será encontrado através da subtração do número formado pelos algarismos que representam a parte inteira da dízima periódica, os algarismos que não se repetem, chamados de anti período e o período (sem a vírgula), além do número formado pela parte inteira e o que não se repete, também sem a vírgula.

O denominador é formado pela quantidade de noves que equivalem aos algarismos do período, entretanto, adicionam-se zeros de acordo com o número de algarismos que não se repetem na parte decimal.

A partir dos exemplos é possível verificar a transformação de uma dízima em uma fração geratriz:

Exemplo 1: Encontre a fração geratriz da dízima representada por 4,5555…

Solução: o número decimal 4,555… equivale a uma dízima periódica simples. Logo, o denominador terá apenas um algarismo nove (9), isso porque o seu período apresenta apenas um único algarismo, correspondente a 5. Assim, a fração será igual:

Exemplo 2: Encontre a fração geratriz da dízima representada por 7,38282

Como 7,38282… é uma dízima periódica composta, o denominador será formado pelos números 990, isso porque o período é formado por 2 algarismos, que equivalem a 82, e apenas 1 algarismo que não se repete na parte decimal, que corresponde ao número três (3).

Neste caso, a fração será igual a:

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