Resumo de Matemática - Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos consiste em uma medida considerada no plano cartesiano que liga um ponto A qualquer a um outro ponto B a determinada distância.

Sendo, como o próprio nome diz, a medida do segmento de reta que os une, o cálculo dessa medida é feito por meio das operações matemáticas da área da geometria.

No plano cartesiano, de maneira geral, essa distância é obtida através do par ordenado (x, y) associado a este plano.

A distância entre dois pontos, além de outros mecanismos matemáticos, pode ser obtida calculando ou medindo o comprimento do segmento de reta que os compõem, fazendo uma ligação.

O cálculo mais eficaz para determinar essas distâncias é realizado a partir de uma fórmula capaz de determinar a distância entre dois pontos usando suas coordenadas do plano, com dito anteriormente.

Ao considerar os pontos A (xA, yA) e B(xB, yB), a fórmula é expressa da seguinte forma:

Distância entre dois planos no plano cartesiano

A melhor forma de verificar essa distância é através da aplicação da sua fórmula. Para demonstrá-la, é necessário marcar os pontos A (xA, yA) e B (xB, yB), respectivamente, no plano cartesiano.

A partir disso, basta construir o segmento de reta que forma a ligação no plano. Para evitar erros é preciso lembrar que deve ser considerada a menor distância entre eles (os ponto A e B).

Na figura mostrada acima, os pontos A e B foram marcados com destaque para suas coordenadas nos eixos x e y, respectivamente.

Ao marcar essas coordenadas, foi construído, consequentemente, o triângulo ABC, que é um triângulo retângulo e sua hipotenusa é o segmento formado pelos pontos AB.

Logo, para encontrar o comprimento desse segmento pode-se utilizar a aplicação do Teorema de Pitágoras. Antes disso, entretanto, é preciso conhecer o comprimento dos segmentos AC e BC, que são os catetos desse triângulo.

Detalhando: o segmento AC mede xB – xA, e o segmento BC tem a medida equivalente a yB – yA. No Teorema de Pitágoras, segue a resolução:

Como o comprimento do segmento AB é justamente a distância entre esses dois pontos A e B, conclui-se que:

Então, a fórmula da distância é resultante da aplicação do teorema de Pitágoras.

Para exemplificar, dado o plano cartesiano a seguir, deve-se calcular a distância entre A e B.

A princípio, pode-se observar que os pontos possuem coordenadas, sendo o ponto A (xa,ya) e B (xb,yb), respectivamente. Na marcação desses pontos, há a formação do triângulo retângulo ABC, determinando seus lados BC: cateto, AC: cateto e AB: hipotenusa.

Logo, a distância entre os pontos A e B será a hipotenusa do triângulo retângulo, que pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras.

Com o auxílio dos estudos da álgebra e de conhecimentos geométricos basta aplicar  a fórmula que determine a distância entre dois pontos no plano, já conhecendo suas coordenadas.

Cateto BC: yb – ya 
Cateto AC: xb – xa
Hipotenusa AB: distância (D)

Segundo a teoria defendida pelo Teorema de Pitágoras tem-se que :

o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Exemplo 1 : Dados os pontos A (2,-3) e B (4,5), aplique a fórmula e determine a distância entre eles.

xa: 2
xb: 4
ya: -3
yb: 5

Exemplo 2:

Calcule a distância entre os pontos P (-2,3) e Q (-5,-9).

xa: -2
xb: -5
ya: 3
yb: -9 

Distância entre dois pontos no espaço

Os pontos no espaço são determinados por um sistema de coordenadas tridimensional. 

Um ponto fica totalmente evidente no espaço quando, associado a ele, seja verificado uma tripla coordenada no plano cartesiano com três dimensões, sejam elas determinadas por x, y e z.

Para identificar a distância entre dois pontos no plano no espaço, é possível representá-los no sistema de coordenadas tridimensional, como mostra a figura a seguir, e efetuar os cálculos necessários a partir da fórmula.

Exemplo: de acordo com os planos acima, determine a distância entre o ponto A (3,1,0) e o ponto B (1,2,0)?

Nesse exemplo, observa-se que o ponto A e B pertencem ao plano xy.

A distância será dada por:

[d(A,B)]2 = 12 + 22 = √5

A distância entre esses dois pontos é representada por √5.

Resumo sobre distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos é uma medida do plano cartesiano. Nele um ponto chamado de A até qualquer outro ponto chamado de B possui determinada distância.

O cálculo dessa medida é feito por meio das operações matemáticas da área da geometria. Essa distância é obtida através do par ordenado (x, y) associado a esse plano.

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