Resumo de Matemática - Diagrama de Venn

O Diagrama de Venn é uma representação gráfica utilizada em operações entre conjuntos para destacar os  elementos. É formado por duas ou mais circunferências que se cruzam formando os subconjuntos.

Os elementos ficam inseridos dentro da circunferência e um retângulo é colocado em volta do Diagrama de Venn, quando se deseja representar o conjunto Universo (conjunto com todas as entidades que deseja observar em uma situação).

História do Diagrama de Venn

O Diagrama de Venn foi criado pelo filósofo e matemático britânico John Venn. Os primeiros sistemas utilizados em representações geométricas foram criados por Leibniz, George Boole e Augustus De Morgan. No entanto, eles não eram simples e claros para serem considerados um padrão.

Então, Venn começou a analisar e corrigir os trabalhos dos matemáticos anteriores para, então, criar o seu próprio diagrama.

Inclusão entre conjuntos

A inclusão é quando um conjunto tem seus elementos dentro de outro conjunto, ou seja, um conjunto fica dentro do outro. É representado matematicamente por A ⊂ B e ler-se A está contido em B. Também é possível usar a representação B ⊃ A, ou seja, B contém A.     

No Diagrama de Venn é representado graficamente assim:

União entre conjuntos

A união entre conjuntos é quando os elementos do conjunto A e os elementos do conjunto B são somados. É matematicamente representado por A ⋃ B. No diagrama de Venn é caracterizada com o destaque dos dois conjuntos que estão realizando a união. Ou seja:

Observe agora a representação dos conjuntos com seus elementos:

O diagrama apresenta os conjuntos:

N = {3, 4, 5, 6}

M= {0, 1, 2, 3}

Matematicamente, a união entre os dois conjuntos será formada ao somar todos os elementos dos dois conjuntos, ou seja:

N ⋃ M = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Interseção entre conjuntos

A interseção entre dois conjuntos é a parte ou os elementos em comum entre os conjuntos. Assim, será os elementos de A que também fazem parte de B. A representação matemática é definida como A ⋂ B. Ou seja, A intersecção B.

No Diagrama de Venn a interseção é apresentada quando se destaca a parte em que os conjuntos se cruzam.

Na representação abaixo aparece a interseção entre os conjuntos A e B. Observe:

Neste caso:

A = { 1, 3, 5, 7, 9, 11} 

B= {8, 9, 10, 11, 12}

A ⋂ B = {9, 11}

Diferença entre conjuntos

Diferença entre os conjuntos é a operação na qual a parte ou os elementos da interseção entre conjuntos é eliminado, ficando somente uma parte de um dos conjuntos. Ou seja, em um conjunto A ⋂ B a diferença é representada por A – B ou B – A.

 A diferença é apresentada destacando apenas a parte do conjunto sem a interseção. Assim: 

Observe a representação abaixo em que aparecem os conjuntos A e B:

Conforme o observado:

A = { 1, 2, 3, 4}

B = {1, 4, 6}

A – B= {2, 3}

B – A = {6}

Conjunto Complementar

O complementar de um conjunto são todos os elementos que não pertencem a A, mas fazem parte do Universo da operação. Ou seja, é o Universo (U) menos o conjunto A.

Em um universo com dois conjuntos, por exemplo, o complementar é dado por U – (A+B)

Assim, dado os conjuntos A e B, com A contido em B (A ⊂ B), o complementar de A em relação a B é definido por B – A. Observe:

Assim:

A = {0, 1, 2}

B = {0, 1, 2, 5, 6}

BcA = B – A

BcA = {0, 1, 2}

O diagrama pode apresentar dois ou mais conjuntos. A complexidade da operação, contudo, está mais relacionada com o número de elementos que envolve a questão.

Aplicação do Diagrama de Venn

O diagrama de Venn é uma ferramenta muito utilizada por questões da matemática e pelo raciocínio lógico em operações com conjuntos. Também é o método fundamental para organização de dados obtidos em pesquisas de mercado ou sociais.

Um exemplo é quando uma empresa deseja conhecer quantas pessoas levaram certo tipo de produto ao mesmo tempo em que levaram outro. 

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