Resumo de Matemática - Conjuntos Numéricos

Os conjuntos numéricos agrupam diversos elementos que compartilham das mesmas propriedades. Apesar da existência de muitos, determinados conjuntos aparecem constantemente nas operações matemáticas, a exemplo dos naturais, reais, inteiros, racionais, irracionais e complexos.

Descubra a seguir o conceito de cada um deles, bem como as caraterísticas e símbolos.

Conjunto dos Números Naturais (N)

Representado pela letra N, o conjunto dos números naturais é composto por todos os números inteiros e não-negativos, incluindo o zero. Ele também é infinito, pois não possui o último elemento, e usado para contagens (o sucessor de um natural é outra unidade de maior valor).

Subconjuntos dos Números Naturais

  • Conjunto dos não nulos: N* = {1,2,3,4,5,6,7…}
  • Conjunto dos números pares: N = {2,4,6,8,10,12…}
  • Conjunto dos números ímpares: N = {1,3,5,7,9,11…}
  • Conjunto dos números primos (divisíveis apenas por 1 e si mesmos): N = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
  • Conjunto dos números compostos (todos que não são primos): N = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, …}
  • Conjunto dos quadrados perfeitos (resultados de potências de expoente 2): N = {1, 4, 9, 16, 25, 36, …}

Conjunto dos Números Inteiros (Z)

Dentro dos conjuntos numéricos, os inteiros reúnem todos os números, sejam eles positivos ou negativos, mais o zero. Ou seja, agrega os números naturais e seus inversos (N ⊂ Z).

Subconjuntos dos Números Inteiros

  • Conjunto dos não nulos: Z* = {…, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, 4, …} ou Z* = Z – {0}
  • Conjunto dos números positivos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
  • Conjunto dos números positivos não nulos:  Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, …}
  • Conjunto dos números negativos: Z – = {…, –5, –4, –3, –2, –1, 0}
  • Conjunto dos números negativos não nulos: Z*– = {…, –5, –4, –3, –2, –1}

Conjunto dos Números Racionais (Q)

Representado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de frações (x/y), no qual x e y são números inteiros e y diferente de zero. 

Q = {0, ±1, ±1/2,…±1/4, …, ±2, ±2/4, ±2/5, …, ±3,… ±3/5, ±3/6, …}

Além das frações, os racionais podem aparecer através de números decimais finitos (0,1,6,15) ou infinitos periódicos (0,444...). Como todo número inteiro é também racional, os inteiros são um dos subconjuntos dos racionais.

Conjunto dos Números Irracionais (I)

Dentro dos conjuntos numéricos, os irracionais são formados por decimais infinitos e não periódicos, isto é, os números que não podem ser representados por frações (razão entre dois elementos inteiros), por exemplo: V2 (1,4142135…); V3 (1, 7320508…).

O irracional mais conhecido é o número Pi, que possui o valor de aproximadamente 3,14.

Conjunto dos Números Reais (R)

Esse conjunto agrupa os números racionais e irracionais. Além disso, os naturais e inteiros fazem parte dos seus subconjuntos.  

Lembre-se que se um real é da categoria dos racionais, não pode ser também irracional e vice-versa. Já na reta dos números reais, todos os pontos são representados por um único real.

Subconjuntos dos Números Reais

  • Conjunto dos não nulos: R* {±1, ±1/2,…±1/4, …, ±2, ± 2,333… ±3,… ±3/4}
  • Conjunto dos números positivos: R* {0, 1, 2, 2/4…3,222…}
  • Conjunto dos números negativos: R– {- 6, – 5,..-4/8,… – 3,333…}

Conjunto dos Números Complexos (C)

Entre os conjuntos numéricos, os complexos formam o maior deles. Ele agrega todos os números inteiros, sendo Z = a+bi (a e b são números reais e i = V-1).

Esse conjunto foi criado por Leonhard Euler, pois, até então não era possível a resolução da raiz quadrada de um número negativo. O método proporcionou o cálculo das equações de segundo grau e outras operações fora do conjunto dos números reais.

Com a aplicação do termo i² = – 1, batizado de número imaginário, pode-se determinar a raiz quadrada de qualquer valor negativo.

Conjuntos Numéricos: intervalos reais

Os conjuntos numéricos e subconjuntos da categoria real também são representados pela notação de intervalo. Na matemática, o intervalo equivale a cada elemento real entre dois extremos. Eles podem ser abertos e fechados, a depender da disposição numérica ou geométrica.

Intervalo aberto:] a, b [

Nesse caso, o valor de a vai até b, mas ambos não fazem parte do intervalo.   

Intervalo fechado: [a, b]

O intervalo vai de a até b, porém é maior ou igual a a, e menor ou igual a b. 

Intervalo por desigualdade

O intervalo começa em a e vai até b, mas o b não entra.

Intervalo aberto e infinito

O intervalo pode ser aberto quando apenas um dos extremos é determinado. O outro lado é uma infinidade de elementos à direita ou esquerda.

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