Resumo de Matemática - Círculo Trigonométrico

O círculo trigonométrico (ciclo trigonométrico ou círculo unitário) é uma circunferência com raio de valor 1 e com centro no plano cartesiano. É usado para representar ângulos e cada ponto da circunferência está relacionado a um dos números reais.

Na subdivisão da trigonometria, o assunto permite encontrar o seno e cosseno dos ângulos e é base para entender as funções trigonométricas.

Comprimento do círculo trigonométrico 

Cada parte da circunferência se associa a um número real expresso em função de π e cada um dos pontos está relacionado com um ângulo. O raio do círculo, por sua vez, tem valor 1 e o comprimento é igual a 2π.

Então, para calcular o comprimento será necessário multiplicar 2π vezes o raio.

Desta forma:

C = 2πr
C = 2π·1
C = 2π

Quadrantes dos círculos trigonométricos

O ciclo trigonométrico é dividido em quatro partes iguais, denominadas quadrantes. Ou seja: 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes. Estes, por sua vez, são apresentados no sentido anti-horário e recortados pelos pontos cartesianos X e Y. O centro fica localizado no ponto central do plano cartesiano (0,0) e apresenta raio no valor de 1.

A figura abaixo apresenta os quadrantes do círculo trigonométrico:

Agora que sabemos que uma volta completa no círculo (360°) tem medida 2π, podemos calcular o valor de ¼ de volta (90°). Ou seja:

2π / 4  ⇒  π / 2

Sendo assim é possível encontrar o comprimento dos outros quadrantes:

• O 1º quadrante (90º): π/2;

• O 2º quadrante (180°): π;

• O 3º quadrante (270°): 3π/2;

• O 4º quadrante (360°): 2π.

Medida do círculo trigonométrico em Graus

O círculo trigonométrico pode ser repartido em 360 partes iguais. Cada uma das partes, então, terá 1° e a volta completa no círculo trigonométrico corresponderá a 360°.

Os principais ângulos ficam localizados no primeiro quadrante e são os de 30º, 45º, 60º. Cada quadrante está conectado com um grau e número real específico.

• Quadrante 1: apresenta os ângulos até 90° e os números reais de 0 até π/2;

• Quadrante 2: ângulos entre 90° e 180° e números reais que vão de π/2;

• Quadrante 3: ângulos entre 180° e 270° e números reais que vão de π até 3π/2;

• Quadrante 4: ângulos entre 270° e 360° e números reais que vão de 3π/2 até 2π.

Os ângulos e raios dos círculos trigonométricos estão representados na figura abaixo:

Medida em radianos

Medida do arco de uma circunferência, o radiano (1 rad) tem valor igual a medida de um arco com valor de r (raio).

Os arcos das circunferências terão, então, medida igual a um radiano. Desta forma é possível converter as unidades pela regra de três:

Arcos congruentes

Os arcos côngruos (ou congruentes) são dois arcos situados em um mesmo ponto sobre uma circunferência e que se distinguem pela quantidade de voltas.

São congruentes os arcos AB e MN apresentados na figura abaixo:

Um deslocamento de 45° foi realizado do ponto A até B. Posteriormente, um movimento de M até N de 360º mais 45°. Ou seja:

360º + 45º = 405°

Expressões relacionadas 

Assim, é possível conhecer o número de voltas a partir das expressões:

Com medida em graus:

α + k.360º para k ∈ Z

Onde,

α = ângulo inicial;

k = número de voltas.

Com medida em radianos:

α + 2k. π para k ∈ Z

Razão seno e cosseno 

O seno e cosseno de um ângulo podem ser calculados por meio do círculo trigonométrico. Veja:

Os pontos QP e OQ são paralelos aos pontos OR e RP, dando origem a um retângulo. A medida de PR será igual ao senθ, já que:

Senθ = PR/OP = b1/1 = b1

Os principais pontos do seno são:

• sen0° = 0;

• sen90° = 1;

• sen180° = 0;

• sen270° = – 1

Por sua vez, o cosseno (cosθ) é igual a medida de OR = a. Ou seja:

cosθ = AD/AC = a/1 = a

Principais pontos do cosseno:

• cos0° = 1;

• cos90° = 0;

• cos 180° = – 1;

• cos 270° = 0

Com isso, é possível entender que as medidas do seno e cosseno são iguais aos valores do cateto oposto e adjacente.

Trigonometria

A trigonometria é uma área de estudos dentro da matemática, onde se estudam os lados de um triângulo. Além da matemática, a área pode ser vista em estudos de física, astronomia, engenharia, geografia, entre outras.

O nome da área vem da palavra grega “trigonon”, que significa “triângulo”, e “metron”, que quer dizer medida”.

Nos estudos do círculo trigonométrico, essa área de estudo é a responsável por encontrar os valores dos ângulos que existem dentro do círculo, além do seno e do cosseno.

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