Resumo de Matemática - Área da Esfera

A área da esfera equivale a medida da “casca” desse sólido geométrico, levando em conta o centro O, o raio r e o aglomerado de pontos presentes no espaço no qual a distância em relação ao centro é igual ao raio r.

Quando observamos uma rotação completa da semicircunferência ao redor do seu próprio diâmetro, percebemos que a superfície esférica é fruto desse movimento de rotação. Por tal motivo, a área é dada pela fórmula Ae = 4.π.r² (quatro vezes a área do círculo).

Em que,

Ae: área da esfera
π (Pi): aproximação no valor 3,14
r: raio

Antes de aplicarmos a fórmula da área, é importante relembrarmos o conceito e as característica da esfera.

Definições da Esfera

A esfera é um sólido tridimensional, ou seja, possui volume, comprimento e largura. É o resultado do conjunto de pontos no espaço cuja distância ao centro O (ponto fixo) é menor ou igual ao raio r.

Além de simétrica, engloba os seguintes elementos:

  • Polos: pontos nas extremidades do diâmetro esférico.
  • Equador: circunferência relacionada à seção perpendicular ao eixo (no centro da esfera).
  • Meridiano: equivale a circunferência composta pela intersecção do plano que mantém o eixo de rotação com a superfície.
  • Paralelo: circunferência que aparece de forma paralela ao equador.

Partes

A esfera é formada por específicas partes, que são chamadas de fuso, cunha e calota.

Fuso: superfície obtida pela rotação de uma circunferência em torno do eixo esférico entre os ângulos 0 e 2π. Como refere-se ao trecho superficial, pode-se calcular a área através das fórmulas:

Af = π.r².α/90 (α em graus) ou Af = 2.r².α (α em radianos)

Sendo,

Af: área do fuso esférico

π: (número pi): aproximação no valor 3,14

α: ângulo do fuso

Cunha: sólido formado pela rotação de um semicírculo (0° < α ≤ 360°) ao redor do seu eixo. Sendo assim, é possível encontrar o volume e a área:

Vc = π. r³. α°/ 270°

Sendo,

Vc: volume da cunha

π (número pi): aproximação no valor 3,14

r: raio

α: ângulo da cunha

Ac = π. r² + Af

Sendo,

Ac: área da cunha

π (número pi): aproximação no valor 3,14

r: raio da esfera

Af: área do fuso

Calota: trecho que foi cortado pelo plano perpendicular ao eixo de rotação. Para determinar a área e volume usa-se as respectivas fórmulas:

Vcal = π.h² / 3(3r-h)

Sendo,

Vcal: volume da calota

π (número pi): aproximação no valor 3,14

h: altura da calota

Ac = 2.π.r.h

Sendo,

Ac: área da calota

π (número pi): aproximação no valor 3,14

r: raio da esfera

h: altura da calota

Como calcular a área da esfera?

Agora que já sabemos as propriedades da esfera, vamos entender melhor o assunto através dos exemplos a seguir:

Exemplo 1 – Dada uma esfera com raio de 2 cm, qual o valor da sua superfície?

Aplicando a fórmula:

Ae = 4.π.r²

Ae = 4.3,14.2²

Ae = 4. 3,14.4

Ae =  50,24 cm²

Exemplo 2 – Certa esfera apresenta raio igual a 30 cm.  Qual seria a diferença entre sua área e a do fuso esférico dessa mesma esfera com ângulo de 90° e considerando π = 3?

O primeiro passo é determinar a área da esfera:

A = 4πr²

A = 4. 3.30²

A = 4.3. 900

A = 10800 cm²

Em seguida, deve-se encontrar a área do fuso esférico:

Af = π.r².α/90

Af = 3. 30².90 /90

Af = 3. 900.90 /90

Af = 243000 /90

Af = 2700 cm²

Por fim, subtrair as duas áreas:

A = 10800 – 2700 = 8100 cm²

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