Resumo de Matemática - Ângulos notáveis

Os chamados ângulos notáveis (30º, 45º e 60º) recebem essa denominação em razão da sua importância, pois são utilizados constantemente nos cálculos que envolvem as razões trigonométricas de seno, cosseno e tangente.   

Para construir a tabela com esse três ângulos, basta seguir os passos descritos na imagem:

Além dos três ângulos notáveis, os ângulos de 0°, 90° e 180° merecem destaque. Contudo, não existe valores para todos eles dentro das razões trigonométricas, esse é o caso da tangente de 90°.

Antes de conhecer mais sobre ângulos notáveis é necessário revisar alguns conceitos de trigonometria. Acompanhe a explicação abaixo e boa leitura!

Trigonometria

A trigonometria é a área da matemática responsável pelo estudo dos triângulos, com foco, principalmente, no triângulo retângulo – figura formada por um ângulo reto (90°) e dois ângulos agudos (menores que 90°).

Esse tipo de triângulo possui três lados, identificados da seguinte forma:

  • Hipotenusa: lado maior e oposto ao ângulo de 90°;
  • Cateto adjacente: lado próximo ao ângulo de 90°;
  • Cateto oposto: lado contrário ao ângulo de 90°.

As divisões entre as medidas dos dois lados da figura são chamadas de razões trigonométricas:

  • Seno (sen) = cateto oposto/hipotenusa;
  • Cosseno (Cos) = cateto adjacente/hipotenusa;
  • Tangente (Tg) = cateto oposto/cateto adjacente ou seno/cosseno.

As razões trigonométricas podem ser representadas graficamente no círculo trigonométrico. Nele, 1° equivale a 1/360 da circunferência, logo os ângulos notáveis podem ser visualizados em alguns pontos.

Demonstração dos ângulos notáveis

A figura abaixo é um triângulo equilátero, ou seja, todas as medidas dos seus lados são iguais e cada um dos seus ângulos possui 60°. Qual será o valor do cosseno de 30°?

A altura CD do triângulo equivale a bissetriz e mediana, por isso o ângulo DCB = 30° e o lado DB = 1/2. Sabe-se também que a altura CD dá origem a um novo triângulo, CDB, o qual trabalharemos a partir de agora.

Note que o cosseno de 30° será o cosseno do ângulo DCB. Para descobrir esse valor, será necessário calcular a medida de h em função de l, já que, h é o cateto adjacente ao ângulo de 30°.

No cálculo de h usaremos o seno do ângulo DBC, pois o cateto oposto a esse ângulo é h e l é a hipotenusa do triângulo. Por se tratar de um triângulo equilátero, seus ângulos medem 60°, com isso temos:

sen60° = h/l

√3/2 = h/l 

h = l√3/2

Agora só precisamos calcular o cosseno de 30°:

cos30° = h/l

cos30° = l√3/2 / l

Para realizar a divisão entre frações, basta conservar a primeira fração e multiplicá-la pelo inverso da segunda:

cos30° = l√3/2 x 1/1

Essa fração ainda pode ser simplificada para:

cos30° = √3/2

O valor encontrado é o mesmo que consta na tabela do início do texto.

Tabela trigonométrica completa

A tabela trigonométrica é uma ferramenta que auxilia em cálculos trigonométricos. Ela é composta pelos valores dos ângulos das razões trigonométricas de seno, cosseno e tangente. Veja abaixo os valores dos ângulos de 1° a 90°:

Ângulo em graus Seno Cosseno Tangente
0,0175 0,9998 0,0175
0,0349 0,9994 0,0349
0,0523 0,9986 0,0524
0,0698 0,9976 0,0699
0,0872 0,9962 0,0875
0,4045 0,9945 0,1051
0,1219 0,9925 0,1228
0,1392 0,9903 0,1405
0,1564 0,9877 0,1584
10° 0,1736 0,9848 0,1763
11° 0,1908 0,9816 0,1944
12° 0,2079 0,9781 0,2126
13° 0,2250 0,9744 0,2309
14° 0,2419 0,9703 0,2493
15° 0,2588 0,9659 0,2679
16° 0,2756 0,9613 0,2867
17° 0,2924 0,9563 0,3057
18° 0,3090 0,9511 0,3249
19° 0,3256 0,9455 0,3443
20° 0,3420 0,9397 0,3640
21° 0,3584 0,9336 0,3839
22° 0,3746 0,9272 0,4040
23° 0,3907 0,9205 0,4245
24° 0,4067 0,9135 0,4452
25° 0,4226 0,9063 0,4663
26° 0,4384 0,8988 0,4877
27° 0,4540 0,8910 0,5095
28° 0,4695 0,8829 0,5317
29° 0,4848 0,8746 0,5543
30° 0,5000 0,8660 0,5774
31° 0,5150 0,8572 0,6009
32° 0,5299 0,8480 0,6249
33° 0,5446 0,8387 0,6494
34° 0,5592 0,8290 0,6745
35° 0,5736 0,8192 0,7002
36° 0,5878 0,8090 0,7265
37° 0,6018 0,7986 0,7536
38° 0,6157 0,7880 0,7813
39° 0,6293 0,7771 0,8098
40° 0,6428 0,7660 0,8391
41° 0,6561 0,7547 0,8693
42° 0,6691 0,7431 0,9004
43° 0,6820 0,7314 0,9325
44° 0,6947 0,7193 0,9657
45° 0,7071 0,7071 1
46° 0,7193 0,6947 1,0355
47° 0,7314 0,6820 1,0724
48° 0,7431 0,6691 1,1106
49° 0,7547 0,6561 1,1504
50° 0,7660 0,6428 1,1918
51° 0,7771 0,6293 1,2349
52° 0,7880 0,6157 1,2799
53° 0,7986 0,6018 1,3270
54° 0,8090 0,5878 1,3764
55° 0,8192 0,5736 1,4281
56° 0,8290 0,5592 1,4826
57° 0,8387 0,5446 1,5399
58° 0,8480 0,5299 1,6003
59° 0,8572 0,5150 1,6643
60° 0,8660 0,5000 1,7321
61° 0,8746 0,4848 1,8040
62° 0,8829 0,4695 1,8807
63° 0,8910 0,4540 1,9626
64° 0,8988 0,4384 2,0503
65° 0,9063 0,4226 2,1445
66° 0,9135 0,4067 2,2460
67° 0,9205 0,3907 2,3559
68° 0,9272 0,3746 2,4751
69° 0,9336 0,3584 2,6051
70° 0,9397 0,3420 2,7475
71° 0,9455 0,3256 2,9042
72° 0,9511 0,3090 3,0777
73° 0,9563 0,2924 3,2709
74° 0,9613 0,2756 3,4874
75° 0,9659 0,2588 3,7321
76° 0,9703 0,2419 4,0108
77° 0,9744 0,2250 4,3315
78° 0,9781 0,2079 4,7046
79° 0,9816 0,1908 5,1446
80° 0,9848 0,1736 5,6713
81° 0,9877 0,1564 6,3138
82° 0,9903 0,1392 7,1154
83° 0,9925 0,1219 8,1443
84° 0,9945 0,1045 9,5144
85° 0,9962 0,0872 11,4301
86° 0,9976 0,0698 14,3007
87° 0,9986 0,0523 19,0811
88° 0,9994 0,0349 28,6363
89° 0,9998 0,0175 57,2900
90° 1 0 não existe
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