Álgebra Linear - Equações Lineares, Espaço Vetorial e Transformações Lineares e Matrizes
Álgebra Linear para Concursos Públicos
1. Equações Lineares
Definição: Equações da forma \(a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = b\), onde \(a_i\) e \(b\) são escalares.
Sistemas Lineares: Conjunto de equações lineares. Classificam-se em:
- Possível Determinado (SPD): Solução única.
- Possível Indeterminado (SPI): Infinitas soluções.
- Impossível (SI): Sem solução.
2. Espaço Vetorial
Definição: Conjunto \(V\) com operações de adição e multiplicação por escalar, satisfazendo 8 axiomas (fechamento, associatividade, elemento neutro, etc.).
Exemplos: \(\mathbb{R}^n\), polinômios de grau ≤ \(n\), matrizes \(m \times n\).
Subespaços: Subconjunto de \(V\) que também é espaço vetorial.
Base e Dimensão: Base é um conjunto LI que gera \(V\). Dimensão é o número de vetores da base.
Dependência Linear: Um conjunto é LD se existe combinação linear não trivial igual ao vetor nulo.
3. Transformações Lineares
Definição: Função \(T: V \rightarrow W\) que preserva adição e multiplicação por escalar (\(T(u+v) = T(u) + T(v)\) e \(T(kv) = kT(v)\)).
Núcleo (Ker): Conjunto dos vetores de \(V\) mapeados em \(0_W\). Dimensão do núcleo é a nulidade.
Imagem (Im): Conjunto dos vetores de \(W\) atingidos por \(T\). Dimensão da imagem é o posto.
Teorema do Núcleo-Imagem: \(\dim(V) = \dim(\text{Ker}(T)) + \dim(\text{Im}(T))\).
4. Matrizes
Definição: Arranjo retangular de números. Representam transformações lineares ou sistemas.
Operações: Soma, multiplicação por escalar, multiplicação de matrizes (não comutativa).
Matriz Inversa: \(A^{-1}\) existe se \(\det(A) \neq 0\).
Determinante: Valor escalar que indica se a matriz é invertível (\(\det \neq 0\)) e volume do paralelepípedo gerado.
Autovalores e Autovetores: \(\lambda\) é autovalor se \(Av = \lambda v\) para algum \(v \neq 0\).
Dicas para Concursos
- Foque em sistemas lineares (escalonamento e Cramer).
- Domine bases canônicas e mudança de base.
- Pratique identificação de núcleo e imagem em transformações.
- Memorize propriedades de determinantes (\(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)).