Questões de Derivada (Matemática)

A equação diferencial (4x³ y + y³ + e^x)dx + (ax⁴ + 3y²x + βx³y + e^y2 )dy = 0, na qual α, β são números reais, é uma equação diferencial exata se, e somente se, os valores de α, β são dados, respectivamente, por

Sejam α, β, C números reais e m um número natural fixado. A função y(x) = αe^mx + e^−βx + Cxe^−βx é uma solução da equação diferencial de segunda ordem my′′ + 2y′ + 1/m y = 0, para todo C ∈ ℝ, se, e somente se, os valores de α, β são dados, respectivamente, por

Se f(x) = e^x((cos(x))³+2) / x²+1 , então f′ (π/2) pode ser escrita na seguinte forma: 
    Quais são os valores de α, β, γ , respectivamente?

Julgue o próximo item, considerando a equação diferencial Ay" (t) + By' (t) + Cy (t) = 0, em que A, B e C são números reais, com A não nulo.

Se y₁(t) = cos(kt) e y₂(t) = sen(kt), em que k é uma constante real não nula, são soluções da referida equação diferencial, então qualquer outra solução dessa equação deve ser uma combinação linear de y₁(t) e y₂(t).

Supondo que, em t segundos após um furo ter sido feito acidentalmente em um tanque de combustível, o volume instantâneo, em m³ , de combustível vazado por unidade de tempo, em segundos, seja dado por L(t) = −t ³ + 2t ² + 4t + 10, para o intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 3 s, julgue o item a seguir.

L(t) foi máximo em t = 2/3 s