A trigonometria no triângulo retângulo é o estudo sobre as relações métricas do triângulo retângulo, figura geométrica plana que possui um ângulo reto (90º) e dois ângulos agudos (menor que 90º).
Ao contrário do que se pensa, a trigonometria não restringe-se apenas ao triângulo retângulo. Essa área da matemática estuda, de modo geral, as relações entre os triângulos, figuras que podem ser classificadas em:
- Triângulo equilátero: possui lados com medidas iguais;
- Triângulo isósceles: possui dois lados com medidas iguais (congruentes) e diferente (base);
- Triângulo escaleno: possui três lados com medidas diferentes;
- Triângulo obtusângulo: possui um ângulo maior que 90°;
- Triângulo acutângulo: possui três ângulos internos menores que 90° (agudos).
Trigonometria no triângulo retângulo
A trigonometria no triângulo retângulo apropria-se de uma das figuras mais importantes da geometria. Isso porque, ela tem várias aplicações na vida prática, sendo estudada desde a Antiguidade, principalmente, pelos egípcios, gregos e babilônicos.
Tal figura possui três propriedades básicas:
- Ângulos: um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares;
- Lados: três lados (uma hipotenusa e dois catetos);
- Altura: segmento que possui uma extremidade num vértice e outra no lado oposto ao vértice. Existem três alturas no triângulo retângulo, duas delas são os catetos e a outra é obtida com base na hipotenusa.
Por ter um ângulo reto, obrigatoriamente, os outros dois ângulos do triangulo retângulo são agudos, ou seja, medem menos que 90°. Em razão disso, as medidas dos ângulos agudos são consideradas complementares.
Por exemplo, dois ângulos que medem 46º e 44º são considerados complementares, pois 46º + 44º = 90º. Nesse caso, dizemos que o ângulo de 46º é o complemento do ângulo de 44º e vice-versa.
Em relação aos lados do triângulo retângulo, eles são identificados da seguinte forma:
- Hipotenusa: lado maior e oposto ao ângulo de 90°;
- Cateto adjacente: lado próximo ao ângulo de 90°;
- Cateto oposto: lado contrário ao ângulo de 90°.
As relações métricas entres os lados dessa figura constituem um dos elementos mais importantes da trigonometria no triângulo retângulo, as chamadas razões trigonométricas:
Seno (sen): corresponde a divisão entre o cateto oposto e a hipotenusa, sendo representado por meio da seguinte fórmula:
Sen = cateto oposto/hipotenusa
Cosseno (cos): corresponde a divisão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, sendo representado por meio da seguinte fórmula:
Cos = cateto adjacente/hipotenusa
Tangente (Tg): corresponde a divisão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, sendo representado por meio da seguinte fórmula:
Tg = cateto oposto/cateto adjacente
Círculo trigonométrico
Ao falar de trigonometria no triângulo retângulo também é importante mencionar o círculo trigonométrico. Esse elemento é utilizado para representar graficamente as razões trigonométricas e auxiliar os cálculos.
O círculo possui como principal característica a simetria, sendo composto por um eixo vertical (seno) e um eixo horizontal (cosseno). Deste modo, as razões trigonométricas podem ser representadas em qualquer ponto da circunferência.
A partir do seno, cosseno e tangente, consideradas as razões trigonométricas básicas, são originadas as razões trigonométricas inversas:
A cotangente (cotg) é o inverso da tangente:
cotg = 1/tg ou cos/sen
A secante (sec) é o inverso do cosseno:
sec = 1/cos
A cossecante (cossec) é o inverso do seno:
cossec = 1/sen
Aplicação
Para exemplificar os conceitos abordados em trigonometria no triângulo retângulo, observe a figura acima. O primeiro triângulo ABC, ao ser decomposto forma outros dois menores: ACD e ADB. A partir disso, podemos fazer as seguintes inferências:
| Triângulo | Hipotenusa | Cateto maior | Cateto menor |
| ABC | a | b | c |
| ADC | b | n | h |
| ADB | c | h | m |
Os dados da tabela podem ser entendidos como:
a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
Consequentemente:
a/c = c/m corresponde a c² = a.m
a/b = b/n corresponde a b² = a.n
a/c = b/h corresponde a a.h = b.c
h/m = n/h corresponde h² = m.n
Existem também outras relações métricas no triângulo ABC. Por exemplo, a=m+n, somado a c² com b², temos:
c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²
A expressão anterior resume-se em a² = b² + c², ou seja, o Teorema de Pitágoras, que possui o seguinte enunciado:
“A soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.”