Resumo de Matemática - Trigonometria

A trigonometria é um ramo da matemática que estuda as relações entre os lados e os ângulos do triângulo. O termo tem origem do grego “trigōnon” (triângulo) + “metron” (medida) e o seu surgimento está relacionado a necessidade dos astrônomos em calcular o tempo.

Além da matemática, a trigonometria é utilizada em outras áreas como: física, biologia, geografia, astronomia, engenharia, etc.

A área é facilmente encontrada no cotidiano, por meio de observações simples como a decolagem de um avião – que forma um ângulo de 30º na pista-, e na rampa de acesso à garagem de casa.

Nomenclaturas em trigonometria

Algumas termos são frequentes no estudo da trigonometria e a compreensão deles é fundamental para o seu estudo. Confira abaixo um pequeno glossário em trigonometria:

  • Ângulo: reunião de dois segmentos de reta orientados (ou semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum. A interseção entre os dois segmentos é denominada vértice do ângulo e os lados do ângulo são os dois segmentos;
  • Triângulo: figura geométrica fechada composta de três lados;
  • Congruentes: figuras e formas que possuem a mesma medida;
  • Eixo: quando são traças as coordenadas ou gráfico em duas dimensões, são utilizados dois eixos: x (horizontal) e y (vertical). Quando existe mais um eixo perpendicular ao plano xy, o novo eixo é chamado de z;
  • Função: correspondência única entre dois conjuntos. Cada elemento do primeiro conjunto corresponde a um e somente um elemento do segundo;
  • Circunferência: curva plana e fechada cujos pontos estão equidistantes de um ponto fixo chamado centro;
  • Grau: unidade de medida do ângulo obtida pela divisão da circunferência em 360 partes iguais, obtendo-se assim um ângulo de um grau;
  • Radianos:  unidade de medida de ângulo que corresponde ao ângulo central, subtendido por um arco de circunferência cujo comprimento seja igual ao raio desta mesma circunferência;
  • Razão: comparação de dois números ou duas quantidades obtida pelo quociente entre elas.

Triângulo retângulo

Em geometria, denomina-se triângulo retângulo o polígono que possui um ângulo chamado reto, com medida de 90°, e dois ângulos menores chamados ângulos agudos. A soma dos ângulos internos deve ser 180°.

O lado oposto ao ângulo de 90º, que é o maior, é chamado de hipotenusa. Os demais lados são denominados de cateto adjacente, se junto ao ângulo de referência, e cateto oposto, quando contrário.

O Teorema de Pitágoras, cujo enunciado é: “a soma dos quadrados dos catetos corresponde ao quadrado da hipotenusa” é representados da seguinte forma:

a² = b² + c²

Sendo: a (hipotenusa), b (cateto) e c (cateto).

Por exemplo, com base no Teoremas de Pitágoras, para determinar a medida “a” do triângulo retângulo abaixo deve-se fazer o cálculo posterior:  

 

a² = b² + c²
a² = 5² + 12²
a² = 25 + 144
a² = 169
√a² = √169
a= 13

Círculo trigonométrico

Também chamado de Ciclo ou Circunferência Trigonométrica, o Círculo Trigonométrico é uma representação gráfica que ajuda no cálculo das razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente).

O círculo possui uma circunferência, centrado em um plano definido por duas retas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no ponto de interseção. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no círculo: o sentido positivo (anti-horário) e o sentido negativo (horário).

De forma geral, o círculo trigonométrico tem início no ponto A e gira no sentido anti-horário (positivo). Os eixos x e y dividem a circunferência em quatro partes congruentes e são chamadas de quadrantes. Deste modo, os valores positivos estão localizados no quadrantes ímpares e os negativos nos quadrantes pares, com crescente em cada valor.

No círculo trigonométrico as medidas dos ângulos podem ser identificadas em graus ou em radianos, pois são diretamente proporcionais. Algumas medidas são mais perceptíveis, como as marcações de 0°, 90°, 180°, 270° e 360°. Sendo os valores de 0° e 360° congruentes.

Abaixo algumas relações entre graus e radianos:

  • π rad = 180°
  • 2π rad = 360°
  • π/2 rad = 90°
  • π/3 rad = 60°
  • π/4 rad = 45°

Razões e funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente

Sendo a trigonometria a área que estuda as relações no triângulo retângulo, as relações trigonométricas dessas figuras apresentam relações entre si e podem também ser representadas no círculo trigonométrico e em gráficos planos.  

Lembrando que as razões trigonométricas também são funções periódicas, pois seus valores se repetem em cada intervalo (período).

Seno (sen)

Representado pela razão entre o cateto oposto e a hipotenusa do triângulo retângulo, calculado através da seguinte fórmula:

Fórmula da função seno: f(x) = senx
Domínio da função seno: D = R
Imagem da função seno: Im = [ -1,1]
Período da função seno: 2 π

Cosseno (cos)

Representado pela razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa de um triângulo retângulo, calculado através da seguinte fórmula:

Fórmula da função cosseno: f(x) = cosx
Domínio da função cosseno: D = R
Imagem da função cosseno: Im = [ -1,1]
Período da função cosseno: 2 π

Tangente (Tg)

Representada pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente de um triângulo retângulo, calculado da seguinte fórmula:

Fórmula da função tangente: f(x) = tgx
Domínio da função tangente: D = R
Imagem da função tangente: Im = [-∞, ∞]
Período da função tangente: π

Ângulos notáveis

Os ângulos notáveis da trigonometria são aqueles que mais se destacaram pela frequência em que aprecem nos cálculos. Sendo assim, é importante conhecer os valores do seno, cosseno e tangente desses ângulos.

História da trigonometria

A origem e data da trigonometria é incerta, mas seu desenvolvimento surgiu a partir dos problemas das áreas de astronomia, agrimensura e navegação por volta do século IV ou V a.C. Foram os povos egípcios e babilônios que mais contribuíram para a descoberta e aperfeiçoamento dessa área matemática.

No Papiro Rhind (1650 a.C) foram encontrados problemas relacionados à cotangente e na tábua cuneiforme Plimpton 322 (1900 e 1600 a.C) descobriram problemas envolvendo secantes.

O grego Euclides de Alexandria, em sua obra Os Elementos, apresentou alguns conceitos relacionados a trigonometria, mas representados por formas geométricas. Na obra é possível encontrar as leis do cosseno para ângulos obtusos e agudos, respectivamente, nas Proposições II.12 e II.13.

O título de “pai da trigonometria” foi dado a Hiparco de Nicéia, pois na segunda metade do século II a.C., ele fez um tratado em 12 livros por meio de um tábua de cordas que posteriormente seria a primeira tabela trigonométrica. Ptolomeu também construiu uma tabela de cordas com o cálculo do seno dos ângulos de 0º a 90º.

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