Resumo de Matemática - Retas perpendiculares

As retas perpendiculares são retas que quando se interceptam formam um ângulo reto (90°). Na matemática, esse é um dos temas mais importantes da geometria euclidiana – baseada nos postulados do matemático Euclides de Alexandria.

Observe a imagem abaixo.  É possível notar que no plano cartesiano existem as retas r e s, que se cruzam no P:

O que é uma reta

Antes de explicar as características das retas perpendiculares é fundamental relembrar o que é uma reta e alguns conceitos associados.

A reta é um elemento da geometria plana, definida como um conjunto de pontos infinitos com tamanho também infinito. Sobre tal elemento, ainda é possível fazer quatro observações:

  • As retas são linhas infinitas;
  • As retas são unidimensionais (possuem apenas uma dimensão);
  • Em uma reta existem infinitos pontos;
  • As retas podem estar dispostas em três posições: horizontal, vertical e inclinada.

Euclides de Alexandria, mentor da geometria analítica, desenvolveu alguns axiomas e postulados sobre a geometria. Algumas dessas preposições referem-se às retas:

  • Postulado da existência: numa reta, bem como fora dela, existem vários pontos;
  • Postulado de determinação: dados dois pontos distintos do espaço, existe apenas uma reta que os contém;
  • Postulado da inclusão: se uma reta tem dois ou mais de seus pontos num plano, ela está contida no plano.

Tipos

As retas perpendiculares são consideradas um tipo de reta concorrente - se encontram em determinado ponto (vértice). Mas além dessas duas, existem outros tipos também importantes:

  • Retas paralelas: retas posicionadas uma ao lado da outra, no mesmo sentido e sem ponto comum entre elas;
  • Retas coincidentes: retas que possuem no mínimo dois pontos em comum;
  • Retas transversais: retas que possuem diferentes pontos interseção em outras retas.

Coeficiente angular

O coeficiente angular, também chamado de declividade de uma reta, é capaz de qualificar se duas retas são perpendiculares. Para realizar o cálculo do coeficiente, utiliza-se a seguinte fórmula:

m = tg α

Na composição da fórmula, o m representa um número real e α indica o ângulo de inclinação da reta. Em relação ao ângulo de inclinação, algumas observações devem ser feitas:

  • Se o ângulo for igual a 0°, m = tg e α = 0;
  • Se o ângulo α for agudo (menor que 90°), m = tg e α > 0;
  • Se o ângulo α for obtuso (maior que 90°), m = tg α;
  • Se o ângulo α for reto (90°) não é possível calcular o coeficiente, pois não existe tangente de 90º.

Retas perpendiculares

Na imagem no início do texto há duas retas perpendiculares, ou seja, a interseção entre elas forma um ângulo reto. Essa característica de perpendicularidade é representada pelo o símbolo ⊥, logo r ⊥ s.

Considerando que m1 é o coeficiente angular da reta r e m2 seja o coeficiente da reta s, a perpendicularidade apenas será verdadeira se:

  • m1 . m2 = -1 ou
  • m2 = -1/m1 ou
  • m1 = -1/m2

Sendo assim, é possível afirmar que duas retas perpendiculares terão os seus coeficientes angulares opostos e inversos.

Aplicação

Observe a imagem acima. O ângulo de inclinação da reta s é representado por α1, enquanto o ângulo de inclinação da reta r é α2. O cruzamento entre as retas deu origem ao triângulo ABC, o qual é possível fazer a relação:

α2 = α1 + 90°

Ao realizar o cálculo da tangente dos dois lados da equação, obtemos:

tgα2 = tg ( α1 + 90°)

Uma vez que a tangente de um ângulo é dada pela razão entre o seno e o cosseno, a seguinte equação é formada:

Como m1 = tg α1 e m2 = tg α2, podemos afirmar que:

m2 = -1/m2 ou m1. m2 = -1, logo r e s são retas perpendiculares.

Retas perpendiculares: método prático

Se vocês estudou as equações da reta é possível identificar se duas retas são ou não perpendiculares. Para isso, basta verificar os coeficientes de x e de y das equações gerais dessas retas.

Na existências de duas retas r: ax + by + cr = 0 e s: as x + bs y + cs = 0, elas serão perpendiculares na condição de:

ar. as+ br.bs= 0

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