Resumo de Matemática - Retângulo

O retângulo é um figura que pertence à geometria plana, formada por quatro lados (quadrilátero) e com ângulos internos congruentes e retos. Ainda pode-se afirmar que essa figura é um paralelogramo – possui lados opostos paralelos.

Por ser  uma figura fechada formada por segmentos de reta que não se cruzam, o retângulo possui os seguintes elementos dos polígonos:

  • Lados: são os segmentos de reta que contornam a figura;
  • Vértices: são os pontos de encontro entre dois lados;
  • Ângulos internos: ângulo interior do polígono, formado por dois lados;
  • Ângulos externos: prolongamento de um ângulo interno que, somado a ele, gera um ângulo de 180°;
  • Diagonais: são os segmentos de reta que ligam dois vértices não consecutivos da figura.

Propriedades do retângulo

Como já dito, todo retângulo é paralelogramo, por isso, incorpora algumas características e propriedades dos paralelogramos, entre elas:

  1. Os lados opostos são sempre paralelos e congruentes;
  2. Os dois ângulos opostos (lados que se opõem aos do outro ângulo) são sempre congruentes (possuem e mesma medida);
  3. Dois ângulos consecutivos (possuem lado e vértice em comum) são sempre suplementares (juntos medem 180°);
  4. As diagonais, além de congruentes, interceptam-se nos pontos médios.

Fórmulas

Área: a área de qualquer paralelogramo pode ser descoberta através da multiplicação das medidas da base pela da altura. A fórmula utilizada para esse cálculo é:

A = b. h

Onde,

A: área

b: base

h: altura

Perímetro: essa medida corresponde a soma de todos os lados da figura. No retângulo, os lados paralelos possuem a mesma medida, deste modo o perímetro é igual a soma de duas vezes a medida da base pela da altura. A fórmula utilizada para esse cálculo é:

P = 2(b + h)

Onde,

P: perímetro

b: base

h: altura

Diagonal:  quando traçada a diagonal de um retângulo, o mesmo forma dois triângulos retângulos, o que de imediato remete ao Teorema de Pitágoras. A fórmula utilizada para esse cálculo é:

d² = b² + h²

Onde,

d: diagonal

b: base

h: altura

Algumas relações entre o triângulo retângulo e o retângulo podem ser feitas: a medida da hipotenusa do triângulo é igual a medida da diagonal do retângulo. Do mesmo modo que, as medidas dos catetos do triângulo são iguais as medidas da base e da altura do retângulo.

Aplicação

Agora que você já conhece as características do retângulo, vamos aplicar às fórmulas em um problema.

Observe a figura acima. Ela possui lados com 12 cm e 10 cm, iremos calcular a área, o perímetro e a diagonal:

Área

A = b.h

A = 12. 10 = 120 cm²

Perímetro

P = 2(b + h)

P = 2(12 + 10)

P = 2.22 = 44 cm

Diagonal

d² = b² + h²

d² = 12² + 10²

d² = 144 + 100

d² = 244

d = √244 = 15,62 cm  

Retângulo, losango e quadrado: entenda as diferenças  

Essas três figuras têm em comum o fato de serem paralelogramos, contudo possuem algumas diferenças básicas:

  • Retângulo: quatro ângulos retos, lados diferentes e diagonais congruentes;
  • Quadrado: quatro ângulos retos, lados iguais e diagonais congruentes;
  • Losango: dois ângulos agudos e dois obtusos, lados iguais e diagonais perpendiculares.

O curioso retângulo áureo 

O número de ouro, também chamado de proporção áurea, número áureo, divina proporção, razão de Phidias, entre outros nomes, refere-se ao número irracional 1,61803..., identificado com a letra grega Φ (Phi).

O retângulo áureo, por sua vez, é a figura cujos lados a e b estão na proporção áurea. Isto é, ao dividir-se a base da figura pela sua altura, obtêm-se o número de ouro. Observe a imagem abaixo:

Quando dividida em quadrado, restante formará um novo retângulo com medidas proporcionais às medidas dos lados da figura original. Sendo a e a + b os comprimentos dos lados da figura original, a definição anterior se traduz na relação:

a/a + b = b/a

O processo de divisão de tal figura em um quadrado pode ser repetido indefinidamente para mais ou para menos. O resultado será a mesma figura.

O que é geometria plana?

A geometria plana é a área dentro da geometria responsável por estudar detalhes sobre comprimento e largura das figuras planas. Existem várias figuras planas, sendo as principais: o círculo, o quadrado, o retângulo, o triângulo, o trapézio e o losango.

A geometria começou a ser estudada da forma como conhecemos por Euclides de Alexandria, que reuniu todos os conhecimentos em matemática que existiam na época em um a única publicação. Por tal feito, ele é conhecido como o pai da geometria, linha de estudo que podemos chamar ainda de geometria euclidiana.

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