Resumo de Matemática - Regra de Três Simples e Composta

A regra de três simples e composta é o método que avalia a razão e proporção entre grandezas, sejam elas diretamente ou inversamente proporcionais.  

Ou seja, é o modo de encontrar um valor desconhecido (incógnita) quando são apresentados dois ou mais valores, e também suas  porcentagens. 

Regra de três simples e composta: grandezas

Define-se por grandezas diretamente proporcionais aquelas em que o aumento ou diminuição de uma resulta no aumento ou diminuição da outra. Ao quadruplicarmos uma grandeza, a outra também será quadruplicada, e assim sucessivamente.

Por exemplo, supondo que cada aluno em uma turma com 25 pessoas recebe duas maçãs no lanche diário. No entanto, essa mesma sala cresceu para 30 alunos. Quantas maçãs serão necessários com esse aumento?

Alunos             Maçãs

 25 —————- 50

 30 —————  x

Com as informações organizadas, faremos uma multiplicação cruzada:

25x = 50.30

25x = 1500

X= 1500/25 = 60

Portanto, é preciso 60 maçãs ao dia para abastecer a nova turma com 30 alunos.

Já as grandezas inversamente proporcionais, como o nome já sugere, ocorre quando o aumento de um dos valores implica na redução do outro. Se uma é triplicada, a outra é reduzida à terça metade, e assim por diante. Vejamos:

Se 4 pedreiros constroem uma casa em 90 dias, apenas 2 deles construirão a mesma casa em quanto tempo?

     Pedreiros               Dias

      4 ——————  90

      2  —————–   x

Neste caso, ocorre uma inversão de grandezas, já que a quantidade de pedreiros diminuiu e a de dias provavelmente irá aumentar. 

Pedreiros              Dias

      2 ——————  90

      4  —————–   x

2x = 90.4

2x = 360

 x = 360/2 = 180

Logo, serão necessários 180 dias para a conclusão das obras.

Regra de três simples

A regra de três simples é aplicada quando são apresentados apenas os valores de duas grandezas. Na comparação, é preciso analisar se são diretamente ou inversamente proporcionais. Confira:

Aplicação 1

Para fazer uma torta de morangos utiliza-se 350 gramas da fruta. No entanto, agora faremos 7 tortas. Então, quanto vamos precisar?

Bolos            Morangos

1 ————–     350g

7 ————–       x

Note que as grandezas são diretamente proporcionais, uma vez que o acréscimo na quantidade de bolos resultará também em um aumento no uso de morangos. Sendo assim, o valor desconhecido deve ser determinado pela multiplicação cruzada:

x = 350.7

x = 2450 g

Aplicação 2

Um carro com velocidade de 60 km/h gasta 3 horas em certo caminho. Caso a velocidade seja reduzida para 40 km/h, quanto tempo será gasto no mesmo trajeto?

Velocidade           Tempo

  60km/h ————   3h

  40km/ h ———–   x

Nesta situação, teremos uma regra de três simples inversa, pois se diminuímos a velocidade, consequentemente o tempo de trajeto aumenta. Com isso, temos que inverter uma das razões e transformá-la em direta.

Velocidade           Tempo

  40km/h ————   3h

  60km/ h ———–   x

40x = 60.3

40x = 180

X = 180/40 = 4, 5

Portanto, será gasto 4,5 h para fazer o mesmo caminho a 40 km/h.

Regra de três composta

A regra de três composta ocorre quando aparecem mais de duas colunas de grandezas, ou seja, três ou mais razões diretamente ou inversamente proporcionais. Entenda melhor nos exemplos:

Se 6 máquinas funcionam 17 horas ao dia e levam 4 dias para produzir 365 peças, então 5 aparelhos iguais às primeiras devem trabalhar quantas horas para produzir 438 peças em 5 dias?

Máquinas         Horas           Dias          Peças

    6                      17             4                 365

    5                       x               5                 438

Primeiro temos que analisar cada grandeza em relação à incógnita, ou seja:

  • Relacionando o número de máquinas com as horas de produção, percebe-se que diminuindo a quantidade de máquinas o tempo de produção aumenta. Logo, essas duas grandezas são inversamente proporcionais.  
  • Relacionando os dias de produção com as horas, observa-se que aumentando os dias o tempo de produção diminui. Então, essas grandezas também são inversamente proporcionais.
  • Relacionando a quantidade de peças com as horas de produção, percebe-se que aumentando o número de peças é necessário mais horas de trabalho. Sendo assim, as grandezas são diretamente proporcionais.

Agora que sabemos todas as informações, basta organizarmos as proporções de acordo com as análises:

Máquinas         Horas         Dias          Peças

    5                    17               5                 365

    6                     x                4                 438

17/x = 5/6. 5/4. 365/438

17/ x = 9125 / 10512

9125x = 10512. 17 

9125 x = 178704

X = 178704 / 9125 = 19,7 dias

Em outras palavras, os passos para resolver uma regra de três simples e composta são:

  • Organize as informações das mesmas categorias em uma coluna;
  • Identifique se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais;
  • Arrume a equação da seguinte forma: caso as grandezas sejam diretamente proporcionais, realize a multiplicação cruzada (X). Mas se elas forem inversamente proporcionais, inverta os valores até torná-los diretamente proporcionais;
  • Por fim, resolva as equações. 
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