A pirâmide é uma figura da geometria espacial – grupo dos poliedros-, formada por uma base poligonal e faces laterais triangulares. Um dos exemplos mais conhecidos de pirâmides são os monumentos históricos localizados no Egito.
As Pirâmides do Egito são do tipo quadrangular, ou seja, a base possui o formato de um quadrado.
Dito isso, é importante saber que as pirâmides podem diferir de acordo com o polígono de sua base. As principais classificações são:
- Triangular (tetraedro): base com o formato de um triângulo;
- Pentagonal: base com o formato de um pentágono;
- Hexagonal: base com o formato de um hexágono;
- Heptagonal: base com o formato de um heptágono;
- Octogonal: base com o formato de um octógono;
Matematicamente a pirâmide ainda pode ser definida como o conjunto de segmentos de reta com extremidades em um polígono e em um ponto externo ao plano que abriga esse polígono.
Elementos
A base é o principal elemento caracterizador das pirâmides. Mas além desse importante elementos existem outros:
- Face: polígono que pode ser observado nessa figura;
- Face lateral: face que não corresponde a sua base;
- Arestas: segmentos de reta formados na interseção de duas faces;
- Arestas laterais: arestas formadas pelo encontro de duas faces laterais;
- Arestas da base: lados da base da figura;
- Vértices: pontos de encontro entre as arestas;
- Vértice da pirâmide: ponto externo ao plano que contém a base da pirâmide;
- Altura: distância do vértice da pirâmide até o plano da base;
- Secção transversal: intersecção da pirâmide com um plano paralelo à sua base;
- Apótema: altura de uma face lateral com relação à base em uma pirâmide regular.
Tipos
Em relação à inclinação da base, uma pirâmide pode ser considerada:
- Reta – qualquer pirâmide cuja a projeção ortogonal de seu vértice coincide com o ponto que possui a mesma distância dos vértices do polígono da base;
- Oblíqua – qualquer pirâmide cuja a projeção ortogonal do seu vértice não coincide com o vértice da base;
- Regular – tipo de pirâmide reta cuja base é um polígono regular, em conformidade com a seguinte propriedade: arestas laterais possuem a mesma medida e faces laterais são triângulos isósceles (figura que possui que possui dois lados congruentes).
A pirâmide regular faz parte do seleto grupo dos Poliedros de Platão ou Sólidos de Platão. Tal grupo também é composto pelo hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Todas as figuras que pertencem a esse grupo obedecem as seguintes determinações:
- Todas as faces da figura devem ter a mesma quantidade de arestas;
- Todos os vértices da figura devem ser formados pela mesma quantidade de arestas;
- As figuras satisfazem a Relação de Euler V – A + F = 2, em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.
A Relação de Euler é aplicada a todos poliedros convexos e para alguns poucos tipos de não convexos. Deste modo, podemos dizer que todo poliedro convexo é Euleriano mas nem todo poliedro Euleriano é convexo.
Aplicação
Sabe-se que pirâmide triangular possui quatro vértices, quatro faces e seis arestas. Abaixo, podemos perceber como a Relação de Euler aplica-se a esse poliedro:
V – A + F = 2
4 – 6 + 4 = 2
O mesmo vale para pirâmide quadrangular, que possui cinco vértices, cinco faces e oito arestas:
V- A + F = 2
5 – 8 + 5 = 2
Fórmulas
Área total - corresponde a união de todas as suas faces. Sua fórmula é representada por: At: Al + Ab
Onde,
Al: Área lateral (soma das áreas dos triângulos das faces laterais)
Ab: Área da base (área do polígono da base)
Volume – corresponde a um terço do produto da área da base pela altura. Sua fórmula é representada por: V=1/3 Ab.h
Onde,
Ab: Área da base
h: altura
Relação notável – aplica-se apenas às pirâmides regulares. Sua formula é representada por: g² = h² + m²
Onde,
h: altura
g: apótema da pirâmide ou altura da face
l: lateral da base
a: aresta lateral
Tronco de pirâmide
O tronco da pirâmide é uma figura geométrica formada por uma secção (corte) transversal em uma pirâmide. Essa nova figura é formada pelos seguintes elementos:
- Base maior: a base da figura original;
- Base menor: polígono formado pelo corte;
- Altura: distância entre a base maior e a base menor;
- Demais elementos da pirâmide: arestas, arestas laterais, arestas da base, vértices, faces, faces laterais etc.