Resumo de Matemática - Pirâmide

A pirâmide é uma figura da geometria espacial – grupo dos poliedros-, formada por uma base poligonal e faces laterais triangulares. Um dos exemplos mais conhecidos de pirâmides são os monumentos históricos localizados no Egito.

As Pirâmides do Egito são do tipo quadrangular, ou seja, a base possui o formato de um quadrado.

Dito isso, é importante saber que as pirâmides podem diferir de acordo com o polígono de sua base. As principais classificações são:

  • Triangular (tetraedro): base com o formato de um triângulo;
  • Pentagonal: base com o formato de um pentágono;
  • Hexagonal: base com o formato de um hexágono;
  • Heptagonal: base com o formato de um heptágono;
  • Octogonal: base com o formato de um octógono;

Matematicamente a pirâmide ainda pode ser definida como o conjunto de segmentos de reta com extremidades em um polígono e em um ponto externo ao plano que abriga esse polígono.

Elementos

A base é o principal elemento caracterizador das pirâmides. Mas além desse importante elementos existem outros: 

  • Face: polígono que pode ser observado nessa figura;
  • Face lateral: face que não corresponde a sua base;
  • Arestas: segmentos de reta formados na interseção de duas faces;
  • Arestas laterais: arestas formadas pelo encontro de duas faces laterais;
  • Arestas da base: lados da base da figura;
  • Vértices: pontos de encontro entre as arestas;
  • Vértice da pirâmide: ponto externo ao plano que contém a base da pirâmide;
  • Altura: distância do vértice da pirâmide até o plano da base;
  • Secção transversal: intersecção da pirâmide com um plano paralelo à sua base;
  • Apótema: altura de uma face lateral com relação à base em uma pirâmide regular.

Tipos

Em relação à inclinação da base, uma pirâmide pode ser considerada:

  • Reta – qualquer pirâmide cuja a projeção ortogonal de seu vértice coincide com o ponto que possui a mesma distância dos vértices do polígono da base;
  • Oblíqua – qualquer pirâmide cuja a projeção ortogonal do seu vértice não coincide com o vértice da base;
  • Regular – tipo de pirâmide reta cuja base é um polígono regular, em conformidade com a seguinte propriedade: arestas laterais possuem a mesma medida e faces laterais são triângulos isósceles (figura que possui que possui dois lados congruentes).

A pirâmide regular faz parte do seleto grupo dos Poliedros de Platão ou Sólidos de Platão. Tal grupo também é composto pelo hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Todas as figuras que pertencem a esse grupo obedecem as seguintes determinações:

  1. Todas as faces da figura devem ter a mesma quantidade de arestas;
  2. Todos os vértices da figura devem ser formados pela mesma quantidade de arestas;
  3. As figuras satisfazem a Relação de Euler V – A + F = 2, em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.

A Relação de Euler é aplicada a todos poliedros convexos e para alguns poucos tipos de não convexos. Deste modo, podemos dizer que todo poliedro convexo é Euleriano mas nem todo poliedro Euleriano é convexo.

Aplicação

Sabe-se que pirâmide triangular possui quatro vértices, quatro faces e seis arestas. Abaixo, podemos perceber como a Relação de Euler aplica-se a esse poliedro:

V – A + F = 2
4 – 6 + 4 = 2

O mesmo vale para pirâmide quadrangular, que possui cinco vértices, cinco faces e oito arestas:

V- A + F = 2
5 – 8 + 5 = 2

Fórmulas

Área total - corresponde a união de todas as suas faces. Sua fórmula é representada por: At: Al + Ab

Onde,

Al: Área lateral (soma das áreas dos triângulos das faces laterais)
Ab: Área da base (área do polígono da base)

Volume – corresponde a um terço do produto da área da base pela altura. Sua fórmula é representada por: V=1/3 Ab.h

Onde,

Ab: Área da base
h: altura

Relação notável – aplica-se apenas às pirâmides regulares. Sua formula é representada por: g² = h² + m²

Onde,

h: altura
g: apótema da pirâmide ou altura da face
l: lateral da base
a: aresta lateral

Tronco de pirâmide

O tronco da pirâmide é uma figura geométrica formada por uma secção (corte) transversal em uma pirâmide. Essa nova figura é formada pelos seguintes elementos:

  • Base maior: a base da figura original;
  • Base menor: polígono formado pelo corte;
  • Altura: distância entre a base maior e a base menor;
  • Demais elementos da pirâmide: arestas, arestas laterais, arestas da base, vértices, faces, faces laterais etc.

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