Resumo de Matemática - Perímetro do Quadrado

O perímetro do quadrado representa a soma de todos os lados da figura plana correspondente.

O quadrado é uma figura geométrica quadrilátera por possuir os quatro lados regulares e iguais, onde cada lado forma um ângulo reto (90 graus) e a soma dá 360 graus.

Além de possuir os quatro lados iguais, o quadrado também pode ser dividido em diagonal, ligando dois pontos vértices opostos em uma diagonal. Sendo assim, é possível ligar uma linha que vai unir os cantos em diagonal.

Como calcular o perímetro do quadrado?

Possuindo o valor de cada lado da forma geométrica, perímetro do quadrado pode ser calculado através de duas fórmulas, sendo elas: P = L + L + L + L ou P = 4 xL.

Na primeira fórmula, é possível obter o resultado através da soma dos quatro lados do quadrado. Já na segunda fórmula é possível multiplicar por quatro o valor de um dos lados da figura plana.

Lados com valores desconhecidos

Quando não se sabe o valor de cada lado da figura plana, também é possível calcular o perímetro do quadrado apenas com o valor da área.

Neste caso, é preciso encontrar primeiro a raiz quadrada da área e depois multiplicar este valor por quatro, encontrando, assim, o perímetro do quadrado.

Sendo assim, a fórmula é: P = 4 x √A.

Em um exemplo, se a área do quadrado é 20, então a conta fica:

P = 4 x √20

P = 4 x 4,472

P = 17,888

Calculando perímetro do quadrado inscrito em um círculo com valor de raio

É comum em provas, como o Enem, que formas geométricas apareçam inscritas dentro de outras formas, como um círculo e que apenas o valor do raio seja liberado para o cálculo.

Um quadrado inscrito dentro de um círculo é desenhado de forma que as quatro bordas do quadrado (vértice) toquem na borda da circunferência do círculo.

A distância do centro de um quadrado inscrito para cada um de seus cantos é igual ao raio do círculo.

Para achar o comprimento do lado, precisamos primeiro cortar o quadrado na diagonal, transformando-os em dois triângulos. Cada um destes terá lados a e b iguais e uma hipotenusa c, que terá o tamanho duas vezes maior que o raio do círculo, ou seja, 2r.

Sendo assim, para cada triângulo retângulo com lados de comprimento a e b e hipotenusa c, a primeira fórmula consiste em a2 + b2 = c2. Considerando que os lados a e b são iguais e sabendo que c = 2r, pode-se reescrever a conta, simplificando-a para encontrar o comprimento do lado.

A fórmula original é a2 + a2 = (2r)2, mas simplificando ela fica: 2a2 = 4(r)2.

Em seguida, divide-se ambos os lados por dois: (a2) = 2(r)2.

Calcula-se a raiz quadrada de cada lado: a = √(2r). O comprimento do lado para o quadrado inscrito é √(2r).

Por fim, para encontrar o perímetro do quadrado, multiplica-se a raiz quadrada de 2r por quatro. Ficando: P = 4√(2r).

Vale lembrar que, por conta das propriedades dos expoentes, onde 4√(2r) é igual a 4√2 x 4√r, pode-se simplificar para a seguinte fórmula: o perímetro de qualquer quadrado inscrito num círculo de raio r é P = 5,657r.

Curiosidade

Uma curiosidade sobre o perímetro do quadrado é que ele pode ser o menor valor, para uma determinada área, em relação às outras figuras geométricas existentes.

Por exemplo: Se um agricultor ceder 25m² de uma fazenda para um parente cercar e criar algum animal lá dentro. Contudo, ele avisou que ela teria que gastar a menor quantidade possível de tela na cerca, que vai ser considerado o perímetro. Neste caso, qual o formato do canteiro que utilizaria menos tela?

Neste exemplo, é possível pensar em duas opções: fazer um cercado retangular de 4m de altura e 6,25m de largura ou um cercado quadrado com 5m nos quatro lados.

Sendo assim, pode-se calcular o perímetro para saber a quantidade de tela que será gasta em ambas opções. Na área retangular, o cálculo fica: P = 4 + 4 + 6,25 + 6,25 = 20,5.

Já na área quadrada a soma do perímetro do quadrado é P = 5 + 5 + 5 + 5 = 20. Ou seja, com uma área quadrada existe uma economia de 0,5m.

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