Resumo de Matemática - Paralelepípedo

Paralelepípedo é um sólido geométrico tridimensional (altura, largura e comprimento) que integra o grupo dos primas – tipo de poliedro que apresenta duas bases congruentes e paralelas em planos diferentes.

Se um determinado prisma tem sua base em formato de paralelogramo, figura de quatro lados com os segmentos paralelos de mesmo tamanho, ele é chamado de paralelepípedo.

Tipos de Paralelepípedos

As classificações do paralelepípedo acontecem por meio dos ângulos, bases e faces laterais.

  • Paralelepípedo oblíquo: quando os ângulos internos entre as faces não são completamente retos, pois essas faces são seis paralelogramos iguais (dois a dois).
  • Paralelepípedo retângulo (hexaedro regular): quando as faces são quadradas, isto é, em formato de cubo. O quadrado é um tipo específico de retângulo, por isso o paralelepípedo pode apresentar faces quadradas.

Propriedades dos Paralelepípedos

O paralelepípedo é um tipo de prisma com os seguintes elementos: base, altura, vértices, arestas e faces laterais.

Faces

As faces laterais opostas de um paralelepípedo são congruentes, isto é, possuem mesma forma e tamanho. As suas bases também são, uma característica de todos os primas. Na figura abaixo, as faces congruentes são: ABCH com DEFG e ADFC com BEGH

Arestas

As arestas são linhas (segmentos de reta) formadas no encontro de duas faces. Se duas arestas aparecem no mesmo plano e não apresentam ponto em comum, elas são paralelas.

Isso acontece com as arestas que estão na formação das faces do paralelepípedo. Sendo assim, as arestas opostas são congruentes, sendo que duas delas também são paralelas.

Vértices

Vértices são os pontos de encontro das arestas. O paralelepípedo tem 8 vértices.

Cálculos do Paralelepípedo

Os principais cálculos do paralelepípedo são para determinar sua área (base e total), volume e diagonal.

Área

Considerando a figura acima, no qual a, b e c são as arestas do paralelogramo, pode-se encontrar a área total (ou externa) de uma paralelepípedo através da seguinte fórmula:

At = 2ab + 2ac+ 2bc ou At = 2 (ab + ac +bc)

A área da base é dada pela operação: Ab = a. b

Como o paralelepípedo retângulo apresenta formato de cubo (6 faces quadradas), é necessário determinar sua área lateral. Com isso, temos:

Al = 2( ac + bc)

Volume

O volume de um paralelepípedo é dado pela fórmula: V = abc

Já o volume do paralelepípedo retângulo é a multiplicação da área da base pela altura, pois face (base), como já sabemos, é quadrangular, ou seja:

V = Ab . h

Diagonal

Sendo a, b e c os tamanhos das arestas concorrentes ao mesmo vértice, considera-se que a é comprimento, b a largura, e c a altura. Nessas circunstâncias, a diagonal do paralelepípedo pode ser determinada pela expressão:

Se o paralelepípedo for um cubo, as medidas das arestas serão as mesmas. Em consequência disso, a diagonal do cubo é obtida por:

Aplicações

Para calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo com 100 cm de comprimento, 50 cm de largura e 80 cm de altura, basta usar a fórmula:

Como o volume é o produto das três dimensões: comprimento, largura e altura, o cálculo de um paralelepípedo com a = 6 cm; b = 0,5 cm e c = 10 cm é:

V = abc

V = 6. 0,5. 10

V = 30 cm³

A área total e a área da base desse mesmo sólido geométrico é encontrada pela solução:

At = 2 (ab + ac +bc)

At = 2 (6. 0,5) + (6 .10) + ( 0,5 . 10)

At = 2. (3 + 60 + 5)

At = 2 . 68

At = 136 cm²

Já a área da base:

Ab = a. b

Ab = 6. 0,5

Ab = 3 cm²

Prisma Quadrangular x Paralelepípedo

O prisma, como já sabemos, é um sólido geométrico com duas bases congruentes e paralelas. A depender do número de lados, podem ser classificados como prisma triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal, e assim sucessivamente.

O paralelepípedo é um prisma cujas faces (bases) são paralelogramos. Um prisma quadrangular pode apresentar outras formatos, a exemplo do quadrilátero. Por isso, nem todos esses prismas podem ser definidos como paralelepípedos. Já os paralelepípedos estão na categoria dos prismas quadrangulares.

Resumo sobre Paralelepípedos

Paralelepípedo é uma figura sólida geométrica tridimensional (altura, largura e comprimento) que faz parte do grupo dos primas. Sendo assim, se determinado prisma tem sua base em formato de paralelogramo (figura de quatro lados com os segmentos paralelos de mesmo tamanho), ele é considerado um paralelepípedo.

Pode-se classificar um paralelepípedo em oblíquo (quando os ângulos internos entre as faces não são completamente retos) e retângulo (quando as faces são quadradas, isto é, em formato de cubo).

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