Os números primos correspondem ao conjunto dos números naturais que possuem apenas dois divisores: o 1 (um) e ele mesmo. Esse conjunto é mencionado na Teoria Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito como um produto de números primos.
Confira os exemplos:
- 2 é divisível apenas por 1 e 2, portanto
é um número primo; - 6 é divisível 1,2,3 e 6, portanto
não é um número primo; - 11 é divisível apenas por 1 e 11, portanto
é um número primo; - 1 é divisível apenas por ele mesmo, portando
não é um número primo.
Regras da divisibilidade
Os números naturais são infinitos. Deste modo, como identificar números primos, além dos mencionados anteriormente? Antes de tudo é preciso relembrar algumas regras da divisibilidade:
Divisibilidade por 2: todos números pares (terminados em 0, 2, 4, 6 e 8);
Exemplo: 28/2 = 14
Divisibilidade por 3: números em que a soma dos seus algarismos resultarem em um número divisível por 3.
Exemplo: 1725 (1+7+2+5=15), logo 15/3= 5
Divisibilidade por 4: números pares e metade do último algarismo adicionado ao penúltimo for um número par ou as duas últimas casas forem terminadas em 0.
Exemplo: 100/4 = 25
Divisibilidade por 5: números terminados em 0 ou 5.
Exemplo: 35/5 = 7
Divisibilidade por 6: números pares e também divisíveis por 3.
Exemplo: 132/3 = 66, logo 132/6 = 22
Divisibilidade por 7: números que a diferença entre o dobro do último algarismo e o restante do número resultar em um número múltiplo de 7.
Exemplo: 203/7 = 29, pois 20 – 2.3 = 20 – 6 = 14
Contudo há duas exceções: o número 1 é divisível apenas por ele mesmo, logo não faz parte do conjunto dos números primos. E o número 2 é o único número primo que é par.
Deste modo, para identificar se um número é primo, seguindo o Crivo de Erastóstenes, basta construir uma tabela com números de 1 a 100 e eliminar aqueles que obedecem às regras da divisibilidade:
Escreve-se uma sequência de números naturais consecutivos, por exemplo, de 1 a 100. Risca-se o 1, pois ele não é primo. Separe o 2 e risque todos os múltiplos dele, pois como eles são divisíveis por 2, não são primos. Depois, separe o 3 e risque todos os múltiplos dele. Continue separando os números não riscados e riscando os seus múltiplos, até que só sobrem os números separados.
Decomposição em fatores primos
De acordo com o Teorema Fundamental da Aritmética, todos os números naturais, maiores que 1, podem ser decompostos em um produto de dois ou mais fatores. Essa característica é denominada de forma fatorada do número.
Para realizar a decomposição de um número é necessário encontrar os números primos que dividem o número a ser decomposto. Em seguida, são realizadas contínuas divisões até que o número se torne igual a 1.
Por fim, os divisores de todas as divisões são selecionados e escritos linearmente, um multiplicando pelo outro. O processo pode parecer complicado, mas observe abaixo a decomposição do número 112 em um produto:
112 = 2 x 2 x 2 x 2 x 7
112 = 24 x 7
No produto 24 x 7, os dois fatores são números primos. Esse resultado foi obtido após sucessivas divisões:
Identificando os divisores
Para determinar todos os divisores de um número é necessário identificar os seus fatores primos, seguindo as orientações acima. Vamos determinar todos os divisores de 90:
1- Realizar a decomposição em fatores primos:
2- Traçar uma linha e escrevemos o 1 no topo – pois ele é divisor de qualquer número:
3- Multiplicar cada fator primo pelos divisores já identificados e escrever esses produtos ao lado de cada fator primo:
4- Se um divisor for encontrado, ele não precisa ser repetido:
Por fim, os divisores de 90 são: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 e 90.
Tabela dos números primos (1 a 100)
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 |
| 13 | 17 | 19 | 23 | 29 |
| 31 | 37 | 41 | 43 | 47 |
| 53 | 59 | 61 | 67 | 71 |
| 73 | 79 | 83 | 89 | 97 |