Resumo de Matemática - Medidas de dispersão

As medidas de dispersão são utilizadas para determinar o grau de variação entre os números de um conjunto com relação à sua média. De certo modo, elas analisam a distância dos números de um conjunto até a sua medianidade.

Essas medidas são frequentemente utilizadas na estatística, ramo da matemática que que visa coletar, organizar, analisar e apresentar dados. Essa ciência é aplicada em censos populacionais, pesquisas de mercado e concessões de crédito, entre outras situações.

Os dados estatísticos precisam ser sistematizados de diferentes formas. Por isso, além das medidas de dispersão existem as medidas de tendência central, que representam todos os números de um conjunto.

Na estatística, suas medidas são classificadas em:

Medidas de tendências centrais ou posição

  • Média
  • Moda
  • Mediana

Medidas de dispersão ou variabilidade

  • Amplitude
  • Desvio
  • Variância
  • Desvio padrão

Medidas de dispersão

Como já dito, as medidas de dispersão são utilizadas para medir o grau de variabilidade entre os elementos de um conjunto em relação a sua média. Elas servem para verificar se os valores estão dispersos ou não e o quão distantes estão um do outro.

Veja abaixo as ferramentas empregadas nessa análise:

  • Amplitude: utilizada para fins de comparação primária, essa medida corresponde à diferença entre o maior e o menor elemento de um conjunto numérico.  Dito isso, para encontrar a amplitude de uma lista de números, basta subtrair o menor do maior.

Exemplo:

Pedro e Maria obtiveram a mesma média final em matemática, 7, sabe-se que em cada uma das quatro unidades eles tiveram as seguintes notas:

Pedro: 8,0; 7,0; 7,0 e 6,0.

Maria: 4,0; 5,0; 9,0 e 10,0.

A amplitude da nota de Pedro foi: 8 (maior nota) - 6 (menor nota) = 2

Já a amplitude da nota de Maria foi: 10 (maior nota) - 4 (menor nota) = 6

Com essa medida não é possível determinar qual dos dois teve um melhor desempenho anual. Contudo, podemos afirmar que a variação das notas de Pedro é muito menor do que as de Maria.

  • Desvio: essa medida mostra a distância onde estariam concentrados todos os dados se estivessem à mesma distância da média aritmética. Sendo assim, cada um dos números de um conjunto pode ter um desvio diferente.

O desvio é calculado a partir da subtração de cada um dos valores de um conjunto da média aritmética.

Exemplo:

Ainda com base no exemplo anterior, considerando as notas de Pedro, o cálculo do desvio é realizado da seguinte forma:

d1 = 8,0 – 7,0 = 1,0

d2 = 7,0 – 7,0 = 0,0

d3 = 7,0 – 7,0 = 0,0

d4 = 6,0 – 7,0 = – 1,0

  • Variância: tal medida indica o quão distante está cada valor dos elementos desse conjunto do valor central. Por isso, quanto menor a variância, mais próximos os valores da média; quanto maior a variância, mais distantes os valores estão da média.

A variância é obtida a partir da média aritmética dos quadrados dos desvios ou da diferença entre a média aritmética dos quadrados e o quadrado da média aritmética. Para encontrá-la, basta seguir as etapas baixo:

  1. Calcular a média das amostras;
  2. Calcular as diferenças entre todos os elementos em relação à média;
  3. Elevar ao quadrado todas as diferenças (negativas e positivas);
  4. Somar todas as diferenças elevadas ao quadrado e, posteriormente, dividir pelo número de elementos da amostra.

Exemplo:

Considere o conjunto numérico com os seguintes elementos: 10, 12, 14, 16, 18 e 20.

A média aritmética entre eles é:

Ma = (10+12+14+16+18+20)/ 6 = 90/6 = 15

Consequentemente, os desvios médios são:

d1 = 10 – 15 = -5

d2 =  12 – 15 = -3

d3 = 14 – 15 = -1

d4 = 16 – 15 = 1

d5 = 18 – 15 = 3

d6 = 20 – 15 = 5

Por fim, a variância é igual a:

V = [(-5)2 + (-3)2 + (-1)2 + 12 + 32 +52] / 6 = 70 / 6 = 11,67

  • Desvio padrão: corresponde a raiz quadrada positiva da variância. Aplicado à estatística, essa medida serve para indicar qual o erro caso quiséssemos substituir um dos valores coletados pelo valor da média.

Exemplo:

Considerando o exemplo anterior, o desvio padrão é igual à raiz quadrada de 11,67, ou seja:

dp = √var

11,67 = 3,42

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